ABC 384 F

ABC 384 F

abc 经典 EF 出式子题。

问题陈述

对于正整数 $x$ ，定义 $f(x)$ 如下："当 $x$ 是偶数时，继续除以 $2$ 。经过这些除法后， $x$ 的最终值为 $f(x)$ "。例如， $f(4)=f(2)=f(1)=1$ 和 $f(12)=f(6)=f(3)=3$ 。

已知长度为 $N$ 的整数序列 $A=(A_1,A_2,\dots ,A_N)$ ，求 ${\displaystyle \sum _{i=1}^N\sum _{j=i}^{N}f(A_i+A_j)}$ 。

做法

首先原式可以转化为算 ${\displaystyle \sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}f(A_i+A_j)}$ ，然后再算 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}f(A_i+A_i)}$。

这是个经典的trick。

然后这个式子不是很好算贡献。

我们将其写为：${\displaystyle \sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\frac{a_i+a_j}{2^k}}$

其中 $k$ 是 $a_i+a_j$ 的因数中最大二次幂的幂次，也就是 $lowbit(a_i+a_j)=2^k$。

将 $k$ 提到前面算贡献

$$\sum _{k=1}^{25}\frac{1}{2^k}(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i+a_j)\ast [lowbit(a_i+a_j)=2^k])$$

设 $an{s}_i$ 表示满足 $lowbit(a_i+a_j)=2^i$ ，的所有配对 $(a_i,a_j)$ 的和。

原式等于

$$\sum _{k=1}^{25}\frac{1}{2^k}an{s}_k$$

考虑如何计算 $an{s}_i$。

我们可以先计算一个 $f_i$ ，表示所有 $(a_i+a_j)\mathrm{mod}{2}^i=0$ 的 $(a_i+a_j)$ 的和。

这个非常好算，$O(n\log V)$ 即可算出。

具体来说，枚举 $i=[0,25]$，令 $a_i\mathrm{mod}{2}^i\to a_i$，拿一个桶记一下就做完了。

然后我们发现 $an{s}_i=f_i-f_{i+1}$。

证明也是显然的。

在所有因数含有 $2^i$ 次方的集合中，除去能整除 $2^{i+1}$ 的，则剩下的便刚好是 $lowbit(a_i+a_j)=2^i$ 的了。

于是就做完了。

// Problem: F - Double Sum 2
// Contest: AtCoder - Toyota Programming Contest 2024#12（AtCoder Beginner Contest 384）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc384/tasks/abc384_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 4000 ms
// Author: Eason
// Date:2024-12-14 20:34:44
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define re register
#define int ll
#define PII pair<int,int>
#define rep(k,a,b) for (int k = a;k <= b;k++)
#define adde(a,b) v[a].push_back(b)
#define addev(a,b,c) v[a].push_back({b,c});
#define rd read
int read()
{
	int f=1,k=0;char c = getchar();
	while(c <'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')k=(k<<1)+(k<<3)+(c^48),c=getchar();
	return k*f;
}

const int N = 2e5+5,M = 5e7 +5;

int pw2[30];
int n;
int a[N];
int sum[30];
int cnt[M];
int ct[M];
int tp[N];


void solve()
{
	cin >> n;
	
	rep(i,1,n) tp[i] = a[i] = rd();
	
	for (int i = 25;i >= 0;i--)
	{
		int mm = (1<<i);
		rep(i,0,mm) cnt[i] = ct[i] = 0;
		for (int i =1;i <= n;i++) a[i] = tp[i] % mm,cnt[a[i]]+=tp[i],ct[a[i]]++;
		for (int j = 1;j < mm;j++)
		{
			if (ct[j] && ct[mm-j])
			sum[i] += cnt[j]*ct[mm-j] + ct[j]*cnt[mm-j];
		}			
		if (ct[0])
		sum[i] += cnt[0] *ct[0]*2;
	}

	int ans = 0;
	for (int i = 25;i >= 0;i--)
	{
		ans += (sum[i]-sum[i+1])/(1<<i);
	}
	int S = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++) 
	{
		int cnt = 0;
		int x = tp[i];
		while (x %2 == 0) cnt++,x/=2;
		ans -= x;
		S += x;
	}
	ans /=2;
	
	ans += S;
	cout << ans << endl;
}

signed main()
{
	int t;t = 1;
	while(t--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}