算法随笔——二项式反演

第一种形式

有 n个限制，$f_k$ 表示恰好满足k个限制，$g_k$ 表示选择 $k$ 个限制，满足这些限制其他不管的选择方案。

$$g_k=\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})\times f_i$$

$$f_k=\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})\times (-1{)}^{i-k}\ast g_i$$

第一行可以根据定义推出。
$i$ 实际上枚举的是 $g$ 实际上满足了多少个限制，那么在 $i$ 之中任选 $k$ 个数都可以满足要求。

第二行是反演的结论。

第二种形式

鸽。