算法随笔——数论之莫比乌斯反演

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前置知识：

数论分块

可以求形如：$\sum f(i)g(\lfloor n/i\rfloor )$ 的东西。
原理如下：
比如说求 $\sum _{i=1}^{10}\lfloor 10/i\rfloor$
得到：10 5 3 2 2 1 1 1 1 1
可以发现有一些块的数值是一样的。
具体一点可以发现 $[l,\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor ]$ 里的数值都是一样的。
又因为这样的值只有 $\sqrt{n}$ 个，因此这个式子可以在 $O(\sqrt{n})$ 的复杂度算出来.

int sum(int n)
{
	int res = 0;
	for (int i = 1,r;i <= n;i = r + 1)
	{
		r = n/(n/i);
		res += ...//计算贡献
	}
	return res;
}

狄利克雷卷积

一些数论函数:
$ϵ(n)$ : $[n=1]$
$I(n)$：任何情况下，$I(n)=1$。
$id(n)$: $id(n)=n$
$\phi (n)$ : 欧拉函数， $[1,n]$ 之内与 $n$ 互质的整数的个数.单点求解欧拉函数

点击查看代码

int get_euler(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if (!vis[i]) 
        {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1; 
        }
        for (int j = 0;prime[j]<= n/i;j++)
        {
            vis[prime[j] * i] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j]-1);
        }
    }
    return res;
}

莫比乌斯函数 $\mu$ ：

筛法：

点击查看代码

void euler(int n)
{
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= n;i++)
	{
		if (!vis[i]) primes[cnt++] = i,mu[i] = -1;
	 	for (int j = 0;primes[j] <= n / i;j++)
	 	{
	 		int num = i * primes[j];
	 		vis[num] = 1;
	 		if (i % primes[j] == 0)
	 		{
	 			mu[num] = 0;
	 			break;
	 		}
	 		mu[num] = -mu[i];
	 	}		
	}
}

$\sigma (n)$ 约数和函数:$\sigma (n)=\sum _{d|n}d$。

狄利克雷卷积

$$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}^{}f(d)\times g(\frac{n}{d})$$

则有：

$$\mu \ast I=ϵ$$

$$\phi \ast I=id$$

$$\mu \ast id=\phi$$

$$f\ast ϵ=f$$

$$I\ast id=\sigma$$

$ϵ$ 是单位函数，$\mu$ 和 $I$ 互为逆元。
同时可以发现狄利克雷卷积满足交换律、分配律和结合律。

例题1

$\mu \ast I=ϵ$

例题2

$\phi \ast I=id$

例题3

$\mu \ast I=ϵ$