luogu P3911

题目

修复了一些小bug，(。・＿・。)ﾉI’m sorry~

给出集合 $A$，设 $n=\mid A\mid$，求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\text{lcm}(A_i,A_j)$。

摸到这道题，我们马上就可以发现 $A$ 中的元素是无序的，题目中给出的式子没法化简，所以我们不得不考虑转化式子。

数据范围 $1\le A_i\le5e4$，这就很好办了……

开一个桶（这里用数组 $t$ 表示），$t[i]$ 表示数 $i$ 在集合中出现的次数。

这样原式就转化为了:

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\text{lcm}(i,j)\times t[i]\times t[j]$$

注意此后 $n$ 指集合 $A$ 中元素的最大值。

这样好像就可以转化 $\text{gcd}$ 求解了。

（为了此篇题解更通俗易懂，接下来的推导会有些冗余部分，见谅~）

愉快的推式子时间~：

$$\large \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\text{lcm}(i,j)\times t[i]\times t[j]\\ &\Rightarrow\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{i\times j}{\text{gcd}(i,j)}\times t[i]\times t[j]\\ &\Rightarrow\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{i\times j}{[\text{gcd}(i, j)=d]\times d}\times t[i]\times t[j]\\ &\Rightarrow\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\frac{i d\times jd}{[\text{gcd}(i, j)=1]\times d}\times t[id]\times t[jd]\\ &\Rightarrow\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}d\times i\times j\times[\text{gcd}(i, j)=1]\times t[id]\times t[jd]\\ &\Rightarrow\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}d\times i\times j\times\sum_{k\mid i,k\mid j}\mu(k)\times t[id]\times t[jd]\\ &\Rightarrow\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{k\mid i,k\mid j}\mu(k)\times d\times i\times j\times t[id]\times t[jd]\\ &\Rightarrow\sum_{d=1}^n\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor}\mu(k)\times d\times ik\times jk\times t[ikd]\times t[jkd]\\ &\Rightarrow\sum_{s=1}^ns\times\sum_{k\mid s}\mu(k)\times k\ (\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{s}\rfloor}i\times t[is])^2 \end{aligned}$$

一些解释（大佬可直接跳过）：

1. $s=kd$。
2. 结果中的平方为上面的式子中的 $i$ 和 $j$，他俩其实是一样的。

最后，我们使用线性筛预处理 $\sum_{k\mid s}\mu(k)\times k$，输入时直接处理 $t$，然后暴力就完了。

代码按照上面的暴力即可，就不给了 QVQ。