Manacher算法----最长回文子串

题目描述

给定一个字符串，求它的最长回文子串的长度。

分析与解法

最容易想到的办法是枚举所有的子串，分别判断其是否为回文。这个思路初看起来是正确的，但却做了很多无用功，如果一个长的子串包含另一个短一些的子串，那么对子串的回文判断其实是不需要的。同时，奇数和偶数长度还要分别考虑。

Manacher算法可以解决上述问题，并在O(n)时间复杂度内求出结果。下面我们来看一下Manacher算法。

首先，为了处理奇偶的问题，在每个字符的两边都插入一个特殊的符号，这样所有的奇数或偶数长度都转换为奇数长度。比如，abc变为#a#b#c#。

同时，为了避免处理越界问题，在字符串的开始插入另一个特殊字符。比如，$#a#b#c#。

以字符串12212321为例，插入#和$这两个特殊符号，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#"，然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度（包括S[i]）。

比如S和P的对应关系：

• S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
• P  1 2 1 2  5 2 1 4 1  2 1 6 1 2 1  2  1

可以看出，p[i]-1刚好是原字符串中最长回文子串的长度，为5.

接下来需要计算p[i]，Manacher算法需要两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+p[id]，也就是最大回文子串的边界。可以得到一个结论：

• 如果mx > i，那么P[i] >= Min(P[2 * id - i], mx - i）

我们再来看下这个结论是怎么得到的。

令j = 2*id - i，也就是说j是i关于id的对称点。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于i和j对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有P[i] = P[j]；

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是 说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，再具体匹配。

此外，对于 mx <= i 的情况，因为无法对 P[i]做更多的假设，只能让P[i] = 1，然后再去匹配。

由此，就可以得出结论。通过以上算法，有代码：

int Manacher(char *s){
    //new一个字符串，插入'$','#'
    //比如s = "aba"   newS = "$#a#b#a#"
    int len = 2 * strlen(s) + 3;
    char *newS = new char[len];
    int j = 1;
    newS[0] = '$';
    for (int i = 0; s[i] != '\0'; ++i){
        newS[j++] = '#';
        newS[j++] = s[i];
    }
    newS[j++] = '#';
    newS[j] = '\0';

    //begin
    int *p = new int[len - 1];
    int mx = 0, id = 0;
    memset(p, 0, sizeof(p));
    int maxLen = 0;
    for (int i = 1; newS[i] != '\0'; ++i){
        if (mx > i){
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
        }
        else
            p[i] = 1;
        while (newS[i + p[i]] == newS[i - p[i]])
            ++p[i];
        if (i + p[i] > mx){
            mx = p[i] + i;
            id = i;
        }
        if (p[i] > maxLen)
            maxLen = p[i] - 1;
    }

    return maxLen ;
}