矩阵论总结

1.线性空间：

加法具有封闭性和唯一性——结合律、交换律、零元、任意元素都存在负元。唯一性代表相加起来，不会既等于a，又等于b。零元指的是和x相加还等于x的元素，而不是指普通的数零。

数乘具有封闭性和唯一性——结合律、两个分配率（将常数或向量分配）、恒等率（1指的是普通的数一）

ps：理解线性空间的时候，可以假设线性空间中的每个元素都是一个向量

线性空间性质：零元和负元都是唯一的

2.基：极大线性无关组的个数称为线性空间的维数，dimV。极大线性无关组就是基。证明是基：1）证明线性无关 2）证明任意元素都可以由基进行表示。

坐标：用基表示某个向量时，基旁边数字的组成的向量就是坐标。

过渡矩阵：Y=XC代表Y中的每个分量都是由X中分量的线性组合而成的，称C为从基X到基Y的过渡矩阵。若在X上的坐标为a，则在Y上的坐标b=$C^{-1}$a。

利用基表示向量时，不同基会对应不同的坐标，但基和坐标的乘积始终是等于所表示的向量的。

3.线性子空间：某线性空间的子空间满足加法和数乘的封闭性，则此子空间称为线性子空间。（以后没有特殊说明子空间就是线性子空间）

线性子空间的性质：（1）线性子空间的零元和线性空间的零元是同一个。（2）线性子空间仍为线性空间

生成子空间：由线性空间中某个元素组$x_1、x_2、\dots \dots 、x_m$中的元素的线性组合得到空间，叫做由此元素组生成的子空间，记作L($x_1、x_2、\dots \dots 、x_m$)

基扩定理：给$V^n$的线性子空间$V_1^m$的基添加n-m个向量就变成了$V^n$的基，这nm？？？

线性子空间的交：集合的交，即元素相同的拿出来

线性子空间的和：两个集合中分别任意拿一个元素出来进行相加。线性子空间的交与和还是线性子空间。

$V_1和V_2是同一线性空间的线性子空间，则dim(V_1+V2)+dim(V1\cap V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)$，dim代表维度（基中向量的个数）

线性子空间的直和：线性子空间的直和还是线性子空间的和，只是要求元素的和都是不相同的。

和为直和的三种等价形式：1）交为零 2）$dim(V_1+V_2)=dim{V}_1+dim{V}_2$ 3) $V_1$的基和$V_2$的基组成的集合为$V_1+V_2的基$

4.Tx=y，y叫做象，x叫做原象

线性变换：T(kx+ly)=kT(x)+lT(y)。线性变换的运算：加、数乘、乘法、逆、多项式。

线性变换的矩阵表示：T(x)=xA，A代表变换T对应的矩阵，x代表基组成的向量组。任意向量可以表示成$x\xi$，则有$T(x\xi )=xA\xi$。线性变换的运算：加、数乘、乘法、逆、多项式。

相似：T在同一线性空间下的不同基下的矩阵之间是相似的。

矩阵的值域R： Ax的集合。矩阵的核N：Ax为零时的x的集合。

定理：1) dimR+dimN=dimV=n，n为A的列数 2) dimR=rankA，rank代表秩

5.特征值与特征向量：通过det($\lambda I-A$)=0$求\lambda$，$将\lambda 代入$$\lambda I-A=0$中求基础解系（特征值）

四个定理：1）tr(AB)=tr(BA) 2）AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同 3）n阶方阵可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n 个线性无关的特征向量。 4）任意n阶方阵A与上三角矩阵相似

Euclid空间（欧氏空间）：交换律、分配律、齐次律、非负律（等零才为零）

度量矩阵（Gram矩阵）：一个由欧氏空间的基中向量的内积组成的正定对称矩阵

酉空间：除了交换律和Euclid空间不一样外，其他都是一样的。是Euclid空间在复数中的推广。

柯西－施瓦茨不等式：$<a,b{>}^2\le <a,a><b,b>$

施密特正交化（单位化和正交化）：待正交化的向量a-其他已正交化向量b的k倍，k为a和b的内积除以b的模的平方

6.A的共轭转置$A^H$：$A^T$中所有复数的虚部都变号就得到A的共轭转置

厄米矩阵（Hermite 矩阵）：满足$A=A^H$的A矩阵

正规矩阵：$A^{H}A=A{A}^H$、$A^{T}A=A{A}^T$

正交矩阵：$A{A}^T=A^{T}A=I，A^T=A^{-1}$。$P^{-1}AP$为对A的正交相似变换

酉矩阵：$A{A}^H=A^{H}A=I，A^H=A^{-1}$。$U^{H}AU$为对A的酉相似变换

schur定理：任何方阵A都可以通过某个酉矩阵U化为上三角矩阵。$U^{-1}AU=U^{H}AU$=上三角矩阵（如何化呢？？）

酉相似于对角阵：n阶方阵 A，酉相似于对角阵（就是通过酉相似变换可以化成对角阵）的充要条件是： A为正规阵（实或复)。

不变子空间：Tx还在V1中

线性空间可以分解为不变子空间的直和，线性空间的基等于不变子空间的基合并起来

T在某基下的矩阵A为对角矩阵的充要条件线性空间可以分解为不变子空间的直和

7.jordan标准型：化出很多个jordan块。jordan块：主对角线有元素，副对角线只可能有元素1

1）笨方法求jordan标准型：求矩阵$(A-\lambda$)中所有非零的i阶的行列式（任意取i行和i列组成的行列式），然后这些行列式的最大公因式记为$D_i$，如果$D_i$的最高幂次项的系数不为1，要除一个数让其变为一。$d_i(\lambda )=\frac{D_i(\lambda )}{D_{i-1}(\lambda )}$，$d_i(\lambda )$中的每个相乘的式子都是一个初等因子。2）每个初等因子形成一个jordan块

初等变换求jordan标准型：经过初等变换得到一个关于$\lambda$的对角阵（初等 变换不改变行列式因子），然后根据“笨方法求jordan标准型”就容易了

多项式矩阵的初等变换：互换、$乘\lambda$的多项式加到行（列）（不能除以$\lambda$的多项式）、乘以非零\非$\lambda$的多项式的常数。

$D_i叫行列式因子，d_i叫不变因子，d_i$中的每个相乘的式子都叫初等因子

8.$P^{-1}AP=J，即AP=PJ$

jordan 标准型的变换矩阵P求法：1）用每一个Jordan块，求出P中对应的几个列组成的矩阵$P_i$ 2）求$P_i$中对应列的方法是，分别求$P_i$每一个列。求$P_i$每一个列的方法如下

• 通过“$(A-\lambda {)}^j$乘于$P_i$的第j列等于零”求$P_i$的第j列，此时求出的第j列一般是一个通解，从通解中取一个解（j为$P_i$的阶数）
• 要求取出来的这个解满足：$(A-\lambda {)}^{j-1}$乘以这个解不等于零，保证求解过程中不出现零向量
• 通过“$(A-\lambda )$乘于$P_i$的第j列等于j-1列”求j-1列

原理：$(A-\lambda {)}^j$乘于$P_i$的第j列等于零，$(A-\lambda )$乘于$P_i$的第j列等于j-1列。特别的，当Jordan标准型是一个对角阵的时候，每个$P_i$都只含有一列，此时就是计算$(A-\lambda )x=0$的解。

注意：同一特征值的不同jordan块求出列向量要线性无关（应该是，我也没看懂）？？？？？

9.利用Jordan标准形求矩阵函数f(A)：（此方法一般不用，除非A本身就是Jordan标准型）

1）Jordan标准型：通过求$(A-\lambda$)的各阶非零行列式的公因式，进而求出Jordan标准型。

2）求变换矩阵P

2）分别求每一个jordan块的矩阵函数，即$f(J_i)$。可证明$f(J_i)$为类似的上三角形条带矩阵（条带矩阵：在与主对角线平行的斜线上各元素相等）。从对角线为第一个条带开始，第j个条带上的值为$f({\lambda }_i)$的j-1次导，除以j-1的阶乘。3）f(A)=$Pf(J)P^{-1}$。

10.矩阵序列$A^{(k)}$：矩阵中的元素都是由k表示。当k趋于无穷大的时候，矩阵中的元素都趋于某一个数时，则称序列的极限是存在。

收敛矩阵序列$A^{(k)}$的性质：线性组合、相乘、取逆、乘任意矩阵

收敛矩阵：设A为方阵,且当$k\to \infty$时$A^k\to 0$ , 则称A为收敛矩阵

矩阵级数：序列中所有无穷个矩阵相加，即${\sum }_{k=1}^{\infty }{A}^{(k)}$。${\sum }_{k=1}^{\infty }{A}^{(k)}$中所有元素收敛，则该级数收敛。先求${\sum }_{k=1}^{\infty }{A}^{(k)}$的前N项和S，然后让$N\to \infty$。

绝对收敛矩阵：${\sum }_{k=1}^{\infty }{A}^{(k)}$中所有元素绝对收敛，则该级数绝对收敛。（绝对收敛：各项的绝对值所构成的级数收敛）

绝对收敛矩阵的性质：调换项的顺序、每个项的左边乘P，右边乘Q、相乘（相乘没看懂）

11.Neumann级数：${\sum }_{k=1}^{\infty }{A}^k$称为A的Neumann级数。Neumann级数收敛的充要条件为A为收敛。并且Neumann级数收敛于$(1-A{)}^{-1}$

矩阵函数：以矩阵为自变量，如求$e^A$，首先将$e^x$进行泰勒展开，然后用A代x得到$e^A$

三大矩阵函数：指数、正弦、余弦、以及它们的性质和注意点

Hamilton-Cayley定理：n阶矩阵A是其特征多项式的零点，也就是说根据特征多项式可以得出一个关于A的等式。

零化多项式：多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A的零化多项式。方阵A的特征多项式为A的零化多项式。

12. 利用Jordan标准形求矩阵函数f(A)：（此方法一般不用，除非A本身就是Jordan标准型）

    1）Jordan标准型：通过求$(A-\lambda$)的各阶非零行列式的公因式，进而求出Jordan标准型。

    2）求变换矩阵P

    2）分别求每一个jordan块的矩阵函数，即$f(J_i)$。可证明$f(J_i)$为类似的上三角形条带矩阵（条带矩阵：在与主对角线平行的斜线上各元素相等）。从对角线为第一个条带开始，第j个条带上的值为$f({\lambda }_i)$的j-1次导，除以j-1的阶乘。3）f(A)=$Pf(J)P^{-1}$。

13.利用零化多项式求解矩阵函数$f(A)$：（总结：求最小多项式得待定系数多项式，求代入不同特征值求系数）

1）求出最小多项式，n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个不变因子$d_n(\lambda )$

最小多项式就是满足$f(A)=0$的最小次数的多项式

2）如果$d_n(\lambda )$中$\lambda$的最高次为m+1，则形式上写出待定系数的m次多项式$g(\lambda )$

3）看最小多项式中${\lambda }_i$对应的次数为k，最后利用$g^{(j)}({\lambda }_i)=f^{(j)}({\lambda }_i)$求解$g(\lambda )$ 中的待定系数，(j=0~k-1，j代表求导次数，${\lambda }_i$代表最小多项式中的一个特征值)，从而求解$g(\lambda )$。$f(A)=g(A)$

14.矩阵的微分和积分及其性质

矩阵的求导规则：

一阶线性齐次常系数常微分方程组$\frac{dx}{dt}=Ax(t)$，则其解为$x(t)=e^{(t-t_0)A}x(t_0)=e^{tA}x(0)$。就是求矩阵函数$e^{(t-t_0)A}$或 $e^{tA}$

一阶线性非齐次常系数常微分方程组$\frac{dx}{dt}=Ax(t)+b(t)$，则其解为$x(t)=e^{tA}[x(0)+{\int }_0^t{e}^{-sA}b(s)ds]$

高阶线性非齐次常系数常微分方程组化为一阶(应该不考吧)

15.矩阵的三角分解（让计算机可以实现矩阵分解）：

Gauss消元法的矩阵形式：

$A^{(1)}=L_1^{-1}A$的结果为A的第一列只剩了第一个元素。这里$L_1^{-1}$的作用是将第一行分别乘以某个数然后加到其他行上，从而消掉A的第一列中除第一个元素外的其他元素。

A的Frobenius矩阵$L_1$的构造方式：主对角线为一，$c_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}},(i=2,3,\dots n)$，其余位置都为零。$L_1^{-1}$为$L_1$中的$c_{i1}$变号。$c_{i1}$就是A的第一列的所有元素都除以第一个元素

按照类似的原理构造$L_2$：主对角线为一，$c_{i2}=\frac{a_{i2}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}},(i=3,4,,\dots n)$，其余位置都为零。

最后得到$A=L_1{L}_2{L}_3\dots L_{n-1}{A}^{(n-1)}=L{A}^{(n-1)}$，其中L是一个下三角矩阵（Low），$A^{(n-1)}$为上三角矩阵（Upper），这叫做LU分解 。

A可以分解成$L{A}^{(n-1)}$，$A^{(n-1)}$进一步可以分解成DU，故A可以分解成LDU。L和U分别为单位下三角矩阵和单位上三角矩阵，D为对角阵$diag[d_1,d_2,\dots d_n]$,而$d_k=$A的k阶主子式除以A的k-1阶主子式。所以能直接求出的为L和D，然后利用DU=$A^{(n-1)}$求出U。 因为D是一个对角阵，所以D上面的每行的元素都只是让U中每行元素翻某个倍数而已，所以利用这个原理就可以很容易求出U。【注】若$d_n=0$时，即D的对角线的最后一个元素为零时，此时U的对角线的最后一个元素要设为1，而不是零。

n阶非奇异矩阵A有三角分解LU或LDU的充要条件是A的顺序主子式不为零

其他三角分解(相应的视频内容还没看)

Doolittle分解：$A=L\hat{U}(\hat{U}=DU) $

Crout分解：$A=\hat{L}U(\hat{L}=LD) $

Cholesky分解：当A为实对称正定矩阵时，$A=L{\tilde{D}}^{2}U=(L\tilde{D})(L\tilde{D}{)}^T$，其中${\tilde{D}}^2=diag[\sqrt{d_1},\sqrt{d_2},\dots \sqrt{d_n}]$

16.矩阵的QR分解：将矩阵A分解为正交（酉）矩阵乘以实（复）上三角阵

Givens矩阵与Givens变换：

​ 有实数的形式和复数的形式两种。（复数形式应该不考）

​ 性质：Givens矩阵的转置为Givens矩阵的逆

​ QR分解：先从所要分解的矩阵A的第一 列开始，利用好多个Givens矩阵（A左乘Givens矩阵。每个Givens矩阵只能消掉一个零）将第一列消成只有第一个元素不为零，其余元素都为零。进行类似的过程，将矩阵消成上三角矩阵。

Householder矩阵与Householder变换：

​ QR分解：先求出第一行对应的单位向量u，再求出变换矩阵H，A左乘H矩阵

施密特正交化实现RQ分解：1）A中各列a1,a2,a3对应的正交化后的向量b1,b2,b3，然后将A中各列用向量b1,b2,b3的 线性组合进行表示，则可得A=BC，B是b1,b2,b3为列向量的矩阵。最后将B中各列进行单位化B=QD，得到A=QDC=QR。

施密特正交化：待正交化的向量a$-$其他已正交化向量b的k倍，k为a和b的内积除以b的模的平方

17.矩阵的满秩分解：将矩阵A分解成一个列满秩矩阵乘行满秩矩阵

Hermite标准形（行阶梯标准形）：首先需要呈现行阶梯形，然后要求每一行的第一个非零元素为1且此非零元素对应列的其他元素都为零。利用初等行变换就可以将矩阵化为Hermite标准形

矩阵的满秩分解：1）利用初等变换得到G，利用G得到P，F=AP，最后得到A=FG

18.酉对角分解与奇异值分解

非奇异矩阵（行列式不等于零）的酉对角分解：。。。

。。。

19.Penrose广义逆矩阵与{1}-逆的性质

定理：满足四个Penrose方程的广义逆矩阵是唯一的。

需要掌握：A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}=$A^{+}$

考试会要求证明某矩阵是否为某矩阵的{1}-逆矩阵。此时用定义即可。{1}-逆的九条性质要学会证明