拓扑排序的妙用

F - Endless Walk

题意：给定一个有向图，和一个条件：从某个点出发，能无限前进。问满足条件的点的个数。

分析：环上的点和能进入环的道路上的点符合无限前进的条件，其他的点均不符合。

题解：在拓扑排序中，queue中没法加入的点是环上的点和从环指向外面的点（没有切入点，in[i]无法减为0）。我们可以反向建图，这样满足条件的点就无法进入queue了，统计queue中出现过的点的个数cnt，输出 n - cnt 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2e5 + 50;


#define TLE std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(nullptr);
#define int long long
#define endl "\n"
#define P pair<int, int>

int n, m;

void solve() {
    cin >> n >> m;
    vector<P> v(n);
    vector<P> s(m);

    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> v[i].first;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> v[i].second;

    for (int i = 0; i < m; i ++) cin >> s[i].first;
    for (int i = 0; i < m; i ++) cin >> s[i].second;

    sort(v.begin(), v.end(), greater());//从大到小
    sort(s.begin(), s.end(), greater());

    multiset<int> st;
    for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++) {
        while (s[j].first >= v[i].first && j < m) st.insert(s[j].second), j ++;
        auto it = st.lower_bound(v[i].second);
        if (it == st.end()) {
            cout << "No\n";
            return ;
        }
        st.erase(it);
    }
    cout << "Yes\n";

}

signed main() {
    TLE;

    solve();

    return 0;
}

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E - Find PermutationA

题意：给出 $m$ 对 $x, y$ ，问能否确定 $n$ 的唯一排序 $A$ ，使得每对 $x_{i}, y_{i}$ 满足 $A_{x_{i}} < A_{y_{i}}$ .

$2 <= N <= 2 * 10^{5}, 1 <= M <= 2 * 10^{5}$

思考角度：建图。如果有环，那么就会有矛盾；如果图被分成了多个部分，那么每个部分之间没法判断大小关系，因此只能由一个连通部分。这个部分能否包含多条链，显然不行，多条连的部分之间无法判断大小关系。所以最终只能是一条直链，中间的每个元素都有一个前驱和后继，代表第i个数出现的位置。用拓扑排序去排除这些情况即可。

题解：每对 $x, y$ 之间都建立一条 $x$ -> $y$ 的边，代表 $x$ 位置的数要小于 $y$ 位置的数。

如果给出的条件能够确定唯一排序，那么对于每一个数 $i (1 <= i < n)$ ，其出现位置 $p o s$ 指向 $i + 1$ 出现位置的边一定会给出，这样菜能构成了一条代表 $1$ ~ $n$ 出现位置的链。

构造出来的图，不能有如下情况：

存在环（1）
存在多条链
- 多条边汇入一个点的情况（2）
- 一个点流出多条分支的情况（3）

以上这些在拓扑排序过程中需要排除掉。

第（1）条根据最后每个点的 $i n [i]$ 是否为0判断得到；

第（2）条根据最初是否有多个入度为0的点判断得出；

第（3）条根据拓展一个节点时，是否有多个子节点 $- - i n [i]$ 得到0，得出；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2e5 + 20;

#define TLE std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(nullptr);
#define endl "\n"
#define P pair<int, int>
#define int long long
#define inf 1e18

int n, m;
int in[maxn];

vector<int> G[maxn];
int ans[maxn];
int vis[maxn];


//拓扑排序有向图判环

void topsort() {
    queue<int> q;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (!in[i]) {
            q.push(i);
            cnt ++;
        }
    }
    if (cnt > 1) {cout << "No\n";return ;}
    
    int tot = 0;
    while (!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        ans[x] = ++ tot;
        int t = 0;
        for (auto i : G[x]) {
            in[i] --;
            if (!in[i]) {q.push(i); t ++;}                
        }
        if (t > 1) {cout << "No\n"; return ;}
    }
    if (tot != n) {cout << "No\n"; return ;}
    
    cout << "Yes\n";
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cout << ans[i] << " \n"[i == n];
}

void solve() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        in[y] ++;
        G[x].push_back(y);
    }

    topsort();
}

signed main() {
    TLE;

    int T = 1;
    //    cin >> T;
    while (T --) {
        solve();
    }

    return 0;
}