[算法]美团春招笔试题C-求有趣子序列数(DP)

题目

输入n，以及长度为n的数组元素
输出数组的非空子序列中有多少个“有趣序列”mod 998244353，有趣序列指所有元素满足arr[i]%i == 0， i从0记。

例：
输入：
2
1 3
输出：
2

题解

• DP
• 状态：dp[i][j] = new long[arr.length()+1][arr.length()]表示子数组arr[0]到arr[j]有多少个长度为i的有趣序列
• 伪代码

for(j from 1 to j-1){
    for(i from 1 to j){
        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1]，当arr[j]%i ==0;
        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]，当arr[j]%i!=0;
    }
}

• 最终所求为 对dp[i][arr.length()-1]，i from 1 to arr.length() 求和。
• 上述状态转移方程可以使用滚动数组降低空间复杂度，即
  • 状态：dp[i][j] = new long[arr.length()+1][2]
  • 伪代码

for(j from 1 to j-1){
     for(i from 1 to j){
        if(j==1) {
          dp[i][j]=dp[i-1][0]+dp[i][0]，当arr[j]%i ==0;
          dp[i][j]=dp[i-1][0]，当arr[j]%i!=0;
        }
        if(j==0){
         dp[i][j]=dp[i-1][1]+dp[i][1]，当arr[j]%i ==0;
         dp[i][j]=dp[i-1][1]，当arr[j]%i!=0;
        }
    }
}

相关

关于子序列的问题，常常考虑使用子数组arr[0]到arr[i]blablabla，然后做dp。

代码

package Exam;

import java.util.Scanner;

public class MeiTuanC {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for(int i = 0;i < arr.length; ++i){
            arr[i] = sc.nextInt();
        }

        long[][] cnt = new long[n+1][2];//滚动数组

        cnt[0][0] = 1;
        cnt[1][0] = 1;
        cnt[0][1] = 1;
        int j = 0;
        for(int i = 1 ;i < arr.length; ++i){//序列尾元素idx
            j = (j + 1) % 2;
            for(int len = 1;len <= i + 1;++len){//子序列长度
                int preJ = (j + 1) % 2;
                if(arr[i] % len!=0){
                    cnt[len][j] = cnt[len][preJ];
                }else{
                    cnt[len][j] = (cnt[len - 1][preJ] + cnt[len][preJ]) % 998244353;
                }
            }
        }


        long sum =0;
        for(int i = 1;i <= arr.length; ++i){
            sum += (cnt[i][j]) % 998244353;
        }
        sum %= 998244353;

        System.out.print(sum);
    }
}