三维仿射变换矩阵

最近在进行一项插值工作时用到了三维空间仿射变换矩阵，没有发现有现成的公式，下面进行了推导，方便大家使用。

仿射变换定义

有两个坐标系S1（X，Y，Z）和S2（x，y，z），S1中某一点P1(X,Y,Z)可以通过如下变换变换到坐标系S2中：

  ，

其中，P2为P1在S2中的坐标值，M为仿射变换矩阵。最一般的情况下，M表示如下：

如果坐标系S1和S2的原点重合，则M简化为3×3矩阵：

 

仿射变换矩阵的计算

下面给出坐标系原点重合时的情况：

假设S2的三个坐标基矢量在S1中的定义为：

u={X1,Y1,Z1}，v＝{X2,Y2,Z2}，w＝{X3,Y3,Z3}

则矩阵M为：

推导过程即求解如下方程组：

M.u = {1,0,0}

M.v＝{0,1,0}

M.w={0,0,1}

 

顺便给出点在线及面上投影计算公式：

1）点P(x,y,z)在直线AB上的投影，已知直线端点A、B坐标

2）点P(x,y,z)在面上的投影，面由点A和其法向量n确定