483. 最小好进制

2021-06-18 LeetCode每日一题

链接：https://leetcode-cn.com/problems/smallest-good-base/

标签：数学、二分查找

题目

对于给定的整数 n, 如果n的k（k>=2）进制数的所有数位全为1，则称 k（k>=2）是 n 的一个好进制。

以字符串的形式给出 n, 以字符串的形式返回 n 的最小好进制。

输入："13"
输出："3"
解释：13 的 3 进制是 111。
    
输入："4681"
输出："8"
解释：4681 的 8 进制是 11111。
    
输入："1000000000000000000"
输出："999999999999999999"
解释：1000000000000000000 的 999999999999999999 进制是 11。

提示：

1. n的取值范围是 [3, 10^18]。
2. 输入总是有效且没有前导 0。

分析

首先题目给的是一个字符串，范围是[3, 10^18]，我们需要把它转换为数字型进行操作，int是放不下的，所以我们这里转换为long类型。

我们要判断一个数字m是不是数字n的好进制很简单，只需要把所有位加起来看看是不是等于n即可。但这里有两个问题

• 如果你从[2, n - 1]去枚举n的所有好进制，那么肯定是会超时的，因为n的范围是[3, 10^18]。这里可以使用二分加快查找速度。
• 对于每一个可能的好进制，如何确定它有多少位。最简单的就是取long的上限即2 ^ 64，最多有64位。

这时候需要处理溢出，因为当好进制很大，并且位数很大的时候，会超过long的上限。

所以我们的思路就是：外层循环从[1, 64]，作为好进制的位，内层循环从[2, n - 1]，使用二分查找寻找每一个可能的好进制，最后求得最小的好进制即可。

编码

class Solution {
    public String smallestGoodBase(String n) {
        long num = Long.parseLong(n);
        long res = Long.MAX_VALUE;

        // K（K >= 2）进制数最多不超过64位，对每一位进行二分查找
        for (int i = 2; i <= 64; i++) {
            // K进制有i位时，K是否是好进制
            long left = 2, right = num - 1;
            while (left <= right) {
                long mid = left + (right - left) / 2;
                long result = checkNum(num, mid, i);
                // mid是num的好进制数,直接退出本次查找
                if (result == 0) {
                    res = Math.min(res, mid);
                    break;
                } else if (result > 0) {
                    // 好进制数在mid右边
                    left = mid + 1;
                } else if (result < 0) {
                    // 好进制数在mid左边
                    right = mid - 1;
                }
            }
        }
        
        return String.valueOf(res);
    }

    /**
     * base进制位数为bit时，求对应的十进制
     * base和bit都很大的时候，会超过long的范围
     */
    private long checkNum(long num, long base, int bit) {
        long sum = 1;
        for (int i = 1; i < bit; i++) {
            if (sum > ((num - 1) / base)) {
                return -1;
            }
            sum = sum * base + 1;
        }

        if (sum == num) {
            return 0;
        } else if (sum < num) {
            return 1;
        } else {
            return -1;
        }
    }
}