421. 数组中两个数的最大异或值
链接:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-xor-of-two-numbers-in-an-array/
标签:位运算、字典树。
题目
给你一个整数数组 nums ,返回 nums[i] XOR nums[j] 的最大运算结果,其中 0 ≤ i ≤ j < n 。
进阶:你可以在 O(n) 的时间解决这个问题吗?
输入:nums = [3,10,5,25,2,8]
输出:28
解释:最大运算结果是 5 XOR 25 = 28.
输入:nums = [0]
输出:0
输入:nums = [2,4]
输出:6
输入:nums = [8,10,2]
输出:10
输入:nums = [14,70,53,83,49,91,36,80,92,51,66,70]
输出:127
1 <= nums.length <= 2 * 10^4
0 <= nums[i] <= 2^31 - 1
分析
不会字典树怎么办?直接暴力呗,过不过听天由命。
暴力法:
class Solution {
public int findMaximumXOR(int[] nums) {
int res = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
int temp = nums[i];
for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
res = Math.max(temp ^ nums[j], res);
}
}
return res;
}
}
时间复杂度O(n ^ n),空间复杂度O(1)
一般情况下,暴力破解肯定是要凉凉的。所以有必要学习一下字典树怎么解决这类问题。
Trie,又称前缀树或字典树,是一棵有根树。对于这题,我们可以将每个数转换成二进制的形式01,那么就可以用一颗二叉树表示一个数,定义左节点指向0,右节点指向1,那么从根节点到叶子节点总共有33层(加上root,32位表示一个数,不足的补0)。
那么对于题目要求的【给你一个整数数组 nums ,返回 nums[i] XOR nums[j] 的最大运算结果,其中 0 ≤ i ≤ j < n 。】遍历数组,将每个数进行拆分存入字典树,对于任意下标j,下标[0, j - 1]的数都已经存入了数中,只需要拆分num[j]然后逐层去匹配,尽量保证num[j]的每一位和树的每一层值不一样,这样异或后结果为1,遍历完每一位后,得到的数就是【nums[i] XOR nums[j] 的最大运算结果,其中 0 ≤ i ≤ j < n 】。
class Solution {
class Tree {
// 左节点,指向的位数为0
Tree left = null;
// 右节点,指向的位数为1
Tree right = null;
}
// 全局变量,一直累计前面数的值
Tree root = new Tree();
private static final int MAX_BIT = 31;
/**
* 这个函数是计算num的各个位数,将每一位存入tree中
*/
private void split(int num) {
// 赋值全局变量,在root的基础上将num进行拆分,这样在num之前的数,已经存入了tree
Tree node = root;
// 将num从高到低位存入
for (int i = MAX_BIT; i >= 0; i--) {
int bit = (num >> i) & 1;
// 这一位为1,存入右节点
if (bit == 1) {
if (node.right == null) {
node.right = new Tree();
}
node = node.right;
} else {
if (node.left == null) {
node.left = new Tree();
}
node = node.left;
}
}
}
/**
* 假设num对应的下标为i,那么这个函数是为了求得nums[i]与num[j]的最大亦或值
* 其中j <= i,[0, j]下标对应的数,都已经按位拆分到了tree中,
* 这里只需要从高位开始,拆分num,对于每一位,只需要在tree中找到与num相反的位,异或即为1,
* 如此下来,每一层尽量让亦或值为1,得到的就是最大的异或值。
* 注意:从tree的根节点到叶子节点,表示一个数。
*/
private int maxAdd(int num) {
Tree node = root;
int res = 0;
for (int i = MAX_BIT; i >= 0; i--) {
int bit = (num >> i) & 1;
// num该位为1,要找tree中的左节点即0
if (bit == 1) {
if (node.left != null) {
res = res * 2 + 1;
node = node.left;
} else {
res = res * 2;
node = node.right;
}
} else {
if (node.right != null) {
res = res * 2 + 1;
node = node.right;
} else {
res = res * 2;
node = node.left;
}
}
}
return res;
}
public int findMaximumXOR(int[] nums) {
int max = 0;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// 下标[0, i - 1]的数都会存在Tree中
split(nums[i - 1]);
max = Math.max(max, maxAdd(nums[i]));
}
return max;
}
}