动态规划

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种用于解决优化问题的算法策略，它通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而提高解题效率。以下从其基本概念、解题步骤、应用场景等维度展开介绍：

1. 基本概念

最优子结构：一个问题具有最优子结构性质，指的是问题的最优解可以由子问题的最优解推导得出。例如在计算斐波那契数列时，第 n 项的值依赖于第 n - 1 项和第 n - 2 项的值，通过求解这两个子问题就能得到原问题的解。
子问题重叠：子问题重叠意味着在求解问题的过程中，相同的子问题会被多次求解。例如在斐波那契数列计算中，计算 F(n) 时，F(n - 1) 和 F(n - 2) 会被重复计算多次。动态规划通过记录子问题的解，避免重复计算，提高效率。

2. 解题步骤

分析问题，定义状态：确定问题的状态表示，状态应能描述问题的子问题，且具有无后效性（即某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响）。例如在背包问题中，可定义状态 dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品，背包容量为 j 时能获得的最大价值。
找出状态转移方程：这是动态规划的关键，描述如何从一个或多个子问题的状态推导出当前问题的状态。例如背包问题的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])，其中 w[i] 是第 i 个物品的重量，v[i] 是第 i 个物品的价值。即考虑第 i 个物品时，有两种选择，不放入背包（价值为 dp[i - 1][j]）或放入背包（价值为 dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]），取两者较大值。
确定初始状态和边界条件：初始状态是问题最基本的子问题的解。例如在背包问题中，dp[0][j] = 0（不考虑任何物品，背包容量为 j 时价值为 0），dp[i][0] = 0（背包容量为 0 时，无论考虑多少物品价值都为 0）。边界条件则限制状态转移的范围，避免数组越界等错误。
计算顺序与结果获取：根据状态转移方程和初始状态，确定计算顺序，通常有自底向上（如背包问题，从最小的子问题开始逐步计算到原问题）和自顶向下（通过递归和记忆化搜索，先从原问题出发，遇到子问题先检查是否已计算过）两种方式。最后根据计算结果获取原问题的解。

3. 应用场景

组合优化问题：如背包问题、最长公共子序列问题、旅行商问题等，这些问题通常需要在众多可能的组合中找到最优解。以最长公共子序列问题为例，给定两个序列，求它们的最长公共子序列长度，通过动态规划可高效求解。
资源分配问题：例如在任务调度中，有多个任务，每个任务有不同的执行时间和收益，在有限的时间内如何分配任务以获得最大收益，可利用动态规划解决。
图论问题：如求图中两点间的最短路径（某些情况下），可以将路径问题转化为子问题，通过动态规划方法求解。