基数排序

基数排序（Radix Sort）是一种非比较型整数排序算法，它根据数字的每一位来进行排序。基数排序通过多轮对不同位（如个位、十位、百位等）的排序，逐步使整个序列有序。

1. 基本原理

• 基数排序是基于桶排序的思想，将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别进行排序。
• 排序时从最低位（个位）开始，依次对每一位进行排序，直到最高位排序完成。每一轮排序都是稳定的，前一轮的排序结果作为下一轮排序的基础，最终使整个序列有序。

2. 算法步骤

1. 确定基数：基数通常为10，因为我们使用的是十进制数系统（每一位数字的取值范围是0 - 9）。
2. 找出最大数：确定数组中的最大数，以便知道排序需要进行的轮数。最大数的位数决定了需要排序的轮数。
3. 按位排序：
   • 从最低位（个位）开始，对数组中的每个元素按照当前位的数字放入对应的桶（0 - 9）中。
   • 收集桶中的元素，按照桶的顺序（从0到9）依次取出元素，形成一个新的序列。
   • 对下一位（十位、百位等）重复上述步骤，直到处理完最大数的最高位。

3. 代码实现

以下是Python语言实现基数排序的代码：

def radix_sort(arr):
    if not arr:
        return arr
    max_num = max(arr)
    exp = 1
    while max_num // exp > 0:
        buckets = [[] for _ in range(10)]
        for num in arr:
            buckets[(num // exp) % 10].append(num)
        arr = [num for bucket in buckets for num in bucket]
        exp *= 10
    return arr

4. 算法分析

• 时间复杂度：
  • 假设数组中有 n 个元素，且最大数有 k 位。每一轮排序都需要遍历数组中的所有 n 个元素，将它们放入桶中并收集，这个过程的时间复杂度为 $O(n)$。
  • 总共需要进行 k 轮排序，所以基数排序的时间复杂度为 $O(k\ast n)$。在整数的情况下，如果数字的位数相对固定，基数排序的时间复杂度接近线性时间 $O(n)$。
• 空间复杂度：
  • 空间复杂度主要取决于桶的数量和每个桶中元素的数量。在最坏情况下，所有元素都集中在一个桶中，需要额外的 $O(n)$ 空间来存储桶中的元素。同时，还需要 O(10) 的空间来存储桶的数组（因为基数为10）。
  • 所以，基数排序的空间复杂度为 $O(n+10)$，通常可以简化为 $O(n)$。
• 稳定性：基数排序是稳定的排序算法。在每一轮按位排序中，当两个元素在当前位上的数字相同时，它们在原数组中的相对顺序不会改变。例如，对于数组 [12, 22]，在个位排序时，它们会进入同一个桶，并且按照原顺序取出，保证了稳定性。