插入排序

插入排序（Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法，它的工作原理类似于扑克牌的整理过程。在摸牌时，玩家会将每张新摸到的牌插入到手中已有的有序牌中的合适位置。

1. 算法步骤

1. 初始状态：将数组分为已排序和未排序两部分。初始时，数组的第一个元素被认为是已排序部分，其余元素是未排序部分。
2. 处理未排序元素：
   • 从数组的第二个元素开始，依次取出未排序部分的元素。
   • 将取出的元素与已排序部分的元素从后往前进行比较。
   • 在比较过程中，若已排序元素大于取出的元素，就将该已排序元素向后移动一个位置。
   • 当遇到一个已排序元素小于或等于取出的元素，或者已比较到已排序部分的最前端时，将取出的元素插入到该位置之后。
3. 重复过程：重复上述步骤，直到未排序部分没有元素，此时整个数组就已排好序。

2. 代码实现

以下是Python实现插入排序的代码：

def insertion_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j + 1] = key
    return arr

3. 算法分析

• 时间复杂度：
  • 最坏情况：数组完全逆序，此时对于每一个未排序元素，都需要与已排序部分的所有元素进行比较并移动位置。第 i 个元素最多需要比较 i 次，总的比较次数为 $1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，时间复杂度为 $O(n^2)$。
  • 最好情况：数组已经有序，每个元素只需与已排序部分的最后一个元素比较一次，不需要移动位置，时间复杂度为 $O(n)$。
  • 平均情况：时间复杂度也是 $O(n^2)$。
• 空间复杂度：插入排序只需要几个额外的变量来辅助排序，空间复杂度为 $O(1)$。
• 稳定性：插入排序是稳定的排序算法。在比较和插入过程中，相等元素的相对顺序不会改变。例如，在数组 [2, 2*, 1] 中，两个 2 的相对顺序在排序后依然保持不变。