超几何分布

超几何分布是一种离散概率分布，常用于描述从有限个物件（其中包含两类不同特性的物件）中不放回地抽取一定数量物件，其中某类物件出现特定个数的概率。以下从其定义、公式、特点、应用场景来详细介绍：

定义：假设存在\(N\)个物件，其中有\(M\)个具有某种特征（例如次品），剩下\(N - M\)个不具有该特征（例如正品）。现在从这\(N\)个物件中不放回地随机抽取\(n\)个物件，设\(X\)表示抽取的\(n\)个物件中具有该特征的物件个数，则\(X\)服从超几何分布。
概率公式：\(P(X = k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N - M}{n - k}}{\binom{N}{n}}\)，其中\(k\)为抽取到具有某种特征物件的个数，\(\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a - b)!}\)表示从\(a\)个元素中选取\(b\)个元素的组合数。这里\(k\)的取值范围需满足\(\max(0, n - (N - M)) \leq k \leq \min(n, M)\)。
特点
- 有限总体：超几何分布所涉及的总体数量\(N\)是有限的，这与一些基于无限总体的概率分布（如正态分布等）有明显区别。
- 不放回抽样：抽取过程是不放回的，即每次抽取后，总体中的物件数量会减少，这使得每次抽取的概率会发生变化。例如，在一个装有5个红球和3个白球的盒子里，第一次抽中红球的概率是\(\frac{5}{8}\)，若不放回，第二次再抽时，抽中红球的概率就变为\(\frac{4}{7}\)（若第一次抽中红球）或\(\frac{5}{7}\)（若第一次抽中白球）。
应用场景
- 产品质量抽检：在产品质量检测中，如果一批产品总数有限，已知其中次品的大致数量，从这批产品中随机抽取一定数量进行检测，求抽到一定数量次品的概率，就可以用超几何分布来计算。例如，一批100件产品中有10件次品，从中随机抽取15件，计算抽到3件次品的概率，就可利用超几何分布。
- 抽样调查：在社会调查等领域，若总体数量有限，且总体中具有某种特征的个体数量已知，通过不放回抽样来估计样本中具有该特征个体数量的概率分布。例如，要调查一个1000人的社区中，有200人参加过志愿者活动，现随机抽取100人，求其中参加过志愿者活动人数的概率分布，超几何分布可提供有效的计算方法。