常见概率分布及其数学期望和方差

以下是常见概率分布及其期望和方差公式的表格：

分布名称	分布列或概率密度	期望	方差
离散型分布
0-1分布（两点分布或伯努利分布）$B(1,p)$	$p_k=p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$	$p$	$p(1-p)$
二项分布$B(n,p)$	$p_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布$P(\lambda )$	$p_k=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,\cdots$	$\lambda$	$\lambda$
[[超几何分布]]$H(n,N,M)$	$p_k=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})},k=0,1,\cdots ,r,r=min(M,n)$	$\frac{nM}{N}$	$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$
[[几何分布]]$Ge(p)$	$p_k=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
负二项分布$Nb(r,p)$	$p_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1})(1-p{)}^{k-r}{p}^r,k=r,r+1,\cdots$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$
连续型分布
均匀分布$U(a,b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a},a<x<b$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$	$\mu$	${\sigma }^2$
指数分布$Exp(\lambda )$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
伽马分布$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$	$f(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},x>0$	$\frac{\alpha }{\lambda }$	$\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
卡方分布${\chi }^2(n)$	$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},x>0$	$n$	$(2n)$
t分布$t(n)$	$f(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n}{)}^{-\frac{n+1}{2}}$	$0（n>1\mathrm{时}）$	$\frac{n}{n-2}（n>2\mathrm{时}）$
F分布$F(m,n)$	$f(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m+n}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n}{)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{mx}{n}{)}^{-\frac{m+n}{2}},x>0$	$\frac{n}{n-2}（n>2\mathrm{时}）$	$\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}（n>4\mathrm{时}）$