冲激响应

以下是几种常见的冲激响应的求法：

时域求解法

• 根据系统微分方程求解：当系统可以用线性微分方程描述时，设系统的输入为单位冲激函数\(\delta(t)\)，此时系统的响应为冲激响应\(h(t)\)。通过对微分方程两边进行拉普拉斯变换，利用冲激函数的拉普拉斯变换特性\(L[\delta(t)] = 1\)，得到关于\(H(s)\)的代数方程，解出\(H(s)\)后再进行拉普拉斯反变换，即可求得冲激响应\(h(t)\)。例如对于一个一阶线性时不变系统，其微分方程为\(ay'(t)+by(t)=x(t)\)，输入\(x(t)=\delta(t)\)，对方程两边进行拉普拉斯变换可得\(asY(s) - ay(0^-) + bY(s)=1\)，由于是零状态响应，\(y(0^-)=0\)，则\(Y(s)=\frac{1}{as + b}\)，对其进行拉普拉斯反变换可得到冲激响应\(h(t)=\frac{1}{a}e^{-\frac{b}{a}t}u(t)\).
• 冲激函数匹配法：对于一个由n阶线性微分方程描述的系统，在方程等号右边出现冲激函数及其各阶导数时，可根据冲激函数及其各阶导数在t = 0 时的取值特点，确定方程左边响应及其各阶导数在t = 0时的初始值，进而得到一组关于冲激响应中待定系数的方程组，解方程组求出待定系数，从而得到冲激响应。例如，对于二阶系统\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2x'(t)+x(t)\)，当\(x(t)=\delta(t)\)时，方程右边为\(2\delta'(t)+\delta(t)\)，根据冲激函数匹配原则，可得\(y''(t)\)中含有\(2\delta'(t)\)，则\(y'(0^+)=2\)；\(y'(t)中含有\delta(t)\)，则\(y(0^+)=1\)。然后根据这些初始条件求解该二阶系统的齐次方程，得到冲激响应.

利用阶跃响应求解

• 已知线性电路中单位阶跃响应s(t)和单位冲激响应h(t)之间的关系为\(h(t)=\frac{ds(t)}{dt}\)，可先求出系统的阶跃响应，再对时间求导得到冲激响应。例如对于一个RC串联电路，当输入为单位阶跃电压时，可通过求解电路的微分方程得到阶跃响应\(s(t)= (1 - e^{-\frac{t}{RC}})u(t)\)，对其求导可得冲激响应\(h(t)=\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t)\).

变换域求解法

• 拉普拉斯变换法：对于连续时间线性时不变系统，先求出系统函数H(s)，它是冲激响应h(t)的拉普拉斯变换，即\(H(s)=L[h(t)]\)。然后将H(s)进行部分分式展开，再通过查拉普拉斯变换表，将展开后的各项反变换回时域，得到冲激响应h(t)。例如，若系统函数\(H(s)=\frac{s + 2}{s^2 + 5s + 6}\)，将其进行部分分式展开得\(H(s)=\frac{1}{s + 2}+\frac{1}{s + 3}\)，查拉普拉斯变换表可得冲激响应\(h(t)=e^{-2t}u(t)+e^{-3t}u(t)\).
• Z变换法：对于离散时间线性时不变系统，先求出系统函数H(z)，它是冲激响应\(h[k]\)的Z变换，即\(H(z)=Z[h[k]]\)。然后将H(z)进行部分分式展开或利用其他方法，将其反变换回时域，得到冲激响应\(h[k]\)。例如，若系统函数\(H(z)=\frac{z}{(z - 0.5)(z - 0.8)}\)，将其进行部分分式展开得\(H(z)=\frac{5}{3}\frac{z}{z - 0.8}-\frac{2}{3}\frac{z}{z - 0.5}\)，查Z变换表可得冲激响应\(h[k]=\frac{5}{3}(0.8)^k u[k]-\frac{2}{3}(0.5)^k u[k]\).