PyTorch基础：Tensor

Tensor，又名张量，读者可能对这个名词似曾相识，因它不仅在PyTorch中出现过，它也是Theano、TensorFlow、 Torch和MxNet中重要的数据结构。关于张量的本质不乏深度的剖析，但从工程角度来讲，可简单地认为它就是一个数组，且支持高效的科学计算。它可以是一个数（标量）、一维数组（向量）、二维数组（矩阵）和更高维的数组（高阶数据）。Tensor和Numpy的ndarrays类似，但PyTorch的tensor支持GPU加速。

本节将系统讲解tensor的使用，力求面面俱到，但不会涉及每个函数。对于更多函数及其用法，读者可通过在IPython/Notebook中使用函数名加?查看帮助文档，或查阅PyTorch官方文档。

# Let's begin
from __future__ import print_function
import torch  as t
t.__version__

基础操作

tensor的接口有意设计成与Numpy类似，以方便用户使用。
从接口的角度来讲，对tensor的操作可分为两类：

• torch.function，如torch.save等。
• 另一类是tensor.function，如tensor.view等。

为方便使用，对tensor的大部分操作同时支持这两类接口，不做具体区分，如torch.sum (torch.sum(a, b))与tensor.sum (a.sum(b))功能等价。
而从存储的角度来讲，对tensor的操作又可分为两类：

• 不会修改自身的数据，如 a.add(b)， 加法的结果会返回一个新的tensor。
• 会修改自身的数据，如 a.add_(b)， 加法的结果仍存储在a中，a被修改了。

函数名以_结尾的都是inplace方式, 即会修改调用者自己的数据，在实际应用中需加以区分。

创建Tensor

在PyTorch中新建tensor的方法有很多，具体如表所示。

这些创建方法都可以在创建的时候指定数据类型dtype和存放device(cpu/gpu).
其中使用Tensor函数新建tensor是最复杂多变的方式，它既可以接收一个list，并根据list的数据新建tensor，也能根据指定的形状新建tensor，还能传入其他的tensor，下面举几个例子。

# 指定tensor的形状
a = t.Tensor(2, 3)
a # 数值取决于内存空间的状态，print时候可能overflow

# 用list的数据创建tensor
b = t.Tensor([[1,2,3],[4,5,6]])
b

b.tolist() # 把tensor转为list

tensor.size()返回torch.Size对象，它是tuple的子类，但其使用方式与tuple略有区别

b_size = b.size()
b_size

b.numel() # b中元素总个数，2*3，等价于b.nelement()

# 创建一个和b形状一样的tensor
c = t.Tensor(b_size)
# 创建一个元素为2和3的tensor
d = t.Tensor((2, 3))
c, d

除了tensor.size()，还可以利用tensor.shape直接查看tensor的形状，tensor.shape等价于tensor.size()

c.shape

需要注意的是，t.Tensor(*sizes)创建tensor时，系统不会马上分配空间，只是会计算剩余的内存是否足够使用，使用到tensor时才会分配，而其它操作都是在创建完tensor之后马上进行空间分配。其它常用的创建tensor的方法举例如下。

t.ones(2, 3)

t.zeros(2, 3)

t.arange(1, 6, 2)

t.linspace(1, 10, 3)

t.randn(2, 3, device=t.device('cpu'))

t.randperm(5) # 长度为5的随机排列

t.eye(2, 3, dtype=t.int) # 对角线为1, 不要求行列数一致

torch.tensor是在0.4版本新增加的一个新版本的创建tensor方法，使用的方法，和参数几乎和np.array完全一致

scalar = t.tensor(3.14159) 
print('scalar: %s, shape of sclar: %s' %(scalar, scalar.shape))

vector = t.tensor([1, 2])
print('vector: %s, shape of vector: %s' %(vector, vector.shape))

tensor = t.Tensor(1,2) # 注意和t.tensor([1, 2])的区别
tensor.shape

matrix = t.tensor([[0.1, 1.2], [2.2, 3.1], [4.9, 5.2]])
matrix,matrix.shape

t.tensor([[0.11111, 0.222222, 0.3333333]],
                     dtype=t.float64,
                     device=t.device('cpu'))

empty_tensor = t.tensor([])
empty_tensor.shape

常用Tensor操作

通过tensor.view方法可以调整tensor的形状，但必须保证调整前后元素总数一致。view不会修改自身的数据，返回的新tensor与源tensor共享内存，也即更改其中的一个，另外一个也会跟着改变。在实际应用中可能经常需要添加或减少某一维度，这时候squeeze和unsqueeze两个函数就派上用场了。

a = t.arange(0, 6)
a.view(2, 3)

b = a.view(-1, 3) # 当某一维为-1的时候，会自动计算它的大小
b.shape

b.unsqueeze(1) # 注意形状，在第1维（下标从0开始）上增加“１” 
#等价于 b[:,None]
print(b[:, None].shape)
print(b.unsqueeze(1))

b.unsqueeze(-2) # -2表示倒数第二个维度, 操作完了size还是2，1，3

c = b.view(1, 1, 1, 2, 3)
c.squeeze(0) # 压缩第0维的“１”->(1,1,2,3)

c.squeeze() # 把所有维度为“1”的压缩->(2,3)

a[1] = 100
b # a修改，b作为view之后的，也会跟着修改

resize是另一种可用来调整size的方法，但与view不同，它可以修改tensor的大小。如果新大小超过了原大小，会自动分配新的内存空间，而如果新大小小于原大小，则之前的数据依旧会被保存，看一个例子。

b.resize_(1, 3)
b

b.resize_(3, 3) # 旧的数据依旧保存着，多出的大小会分配新空间
b

索引操作

Tensor支持与numpy.ndarray类似的索引操作，语法上也类似，下面通过一些例子，讲解常用的索引操作。如无特殊说明，索引出来的结果与原tensor共享内存，也即修改一个，另一个会跟着修改。

a = t.randn(3, 4)
a

a[0] # 第0行(下标从0开始)

a[:, 0] # 第0列

a[0][2] # 第0行第2个元素，等价于a[0, 2]

a[0, -1] # 第0行最后一个元素

a[:2] # 前两行

a[:2, 0:2] # 前两行，第0,1列

print(a[0:1, :2]) # 第0行，前两列 
print(a[0, :2]) # 注意两者的区别：形状不同

# None类似于np.newaxis, 为a新增了一个轴
# 等价于a.view(1, a.shape[0], a.shape[1])
a[None].shape

a[None].shape # 等价于a[None,:,:]

a[:,None,:].shape

a[:,None,:,None,None].shape

a > 1 # 返回一个ByteTensor

a[a>1] # 等价于a.masked_select(a>1)
# 选择结果与原tensor不共享内存空间

a[t.LongTensor([0,1])] # 第0行和第1行

其它常用的选择函数如表所示。

gather是一个比较复杂的操作，对一个2维tensor，输出的每个元素如下：

out[i][j] = input[index[i][j]][j] # dim=0
out[i][j] = input[i][index[i][j]] # dim=1

三维tensor的gather操作同理，下面举几个例子。

# 选取对角线的元素
index = t.LongTensor([[0,1,2,3]])
a.gather(0, index)

# 选取反对角线上的元素
index = t.LongTensor([[3,2,1,0]]).t()
a.gather(1, index)

# 选取反对角线上的元素，注意与上面的不同
index = t.LongTensor([[3,2,1,0]])
a.gather(0, index)

# 选取两个对角线上的元素
index = t.LongTensor([[0,1,2,3],[3,2,1,0]]).t()
b = a.gather(1, index)
b

与gather相对应的逆操作是scatter_，gather把数据从input中按index取出，而scatter_是把取出的数据再放回去。注意scatter_函数是inplace操作。

out = input.gather(dim, index)
-->近似逆操作
out = Tensor()
out.scatter_(dim, index)

# 把两个对角线元素放回去到指定位置
c = t.zeros(4,4)
c.scatter_(1, index, b.float())

对tensor的任何索引操作仍是一个tensor，想要获取标准的python对象数值，需要调用tensor.item(), 这个方法只对包含一个元素的tensor适用.

a[0,0] #依旧是tensor

a[0,0].item() # python float

d = a[0:1, 0:1, None]
print(d.shape)
d.item() # 只包含一个元素的tensor即可调用tensor.item,与形状无关

高级索引

PyTorch在0.2版本中完善了索引操作，目前已经支持绝大多数numpy的高级索引。高级索引可以看成是普通索引操作的扩展，但是高级索引操作的结果一般不和原始的Tensor共享内存。

x = t.arange(0,27).view(3,3,3)
x

x[[1, 2], [1, 2], [2, 0]] # x[1,1,2]和x[2,2,0]

x[[2, 1, 0], [0], [1]] # x[2,0,1],x[1,0,1],x[0,0,1]

x[[0, 2], ...] # x[0] 和 x[2]

Tensor类型

Tensor有不同的数据类型，如表3-3所示，每种类型分别对应有CPU和GPU版本(HalfTensor除外)。默认的tensor是FloatTensor，可通过t.set_default_tensor_type 来修改默认tensor类型(如果默认类型为GPU tensor，则所有操作都将在GPU上进行)。Tensor的类型对分析内存占用很有帮助。例如对于一个size为(1000, 1000, 1000)的FloatTensor，它有100010001000=10^9个元素，每个元素占32bit/8 = 4Byte内存，所以共占大约4GB内存/显存。HalfTensor是专门为GPU版本设计的，同样的元素个数，显存占用只有FloatTensor的一半，所以可以极大缓解GPU显存不足的问题，但由于HalfTensor所能表示的数值大小和精度有限1，所以可能出现溢出等问题。

各数据类型之间可以互相转换，type(new_type)是通用的做法，同时还有float、long、half等快捷方法。CPU tensor与GPU tensor之间的互相转换通过tensor.cuda和tensor.cpu方法实现，此外还可以使用tensor.to(device)。Tensor还有一个new方法，用法与t.Tensor一样，会调用该tensor对应类型的构造函数，生成与当前tensor类型一致的tensor。torch.like(tensora) 可以生成和tensora拥有同样属性(类型，形状，cpu/gpu)的新tensor。 tensor.new(new_shape) 新建一个不同形状的tensor。

# 设置默认tensor，注意参数是字符串
t.set_default_tensor_type('torch.DoubleTensor')
a = t.Tensor(2,3)
a.dtype # 现在a是DoubleTensor,dtype是float64

# 恢复之前的默认设置
t.set_default_tensor_type('torch.FloatTensor')
# 把a转成FloatTensor，等价于b=a.type(t.FloatTensor)
b = a.float() 
b.dtype

c = a.type_as(b)
c

a.new(2,3) # 等价于torch.DoubleTensor(2,3)，建议使用a.new_tensor

t.zeros_like(a) #等价于t.zeros(a.shape,dtype=a.dtype,device=a.device)

t.zeros_like(a, dtype=t.int16) #可以修改某些属性

t.rand_like(a)

a.new_ones(4,5, dtype=t.int)

a.new_tensor([3,4])

逐元素操作

这部分操作会对tensor的每一个元素(point-wise，又名element-wise)进行操作，此类操作的输入与输出形状一致。常用的操作如表所示。

对于很多操作，例如div、mul、pow、fmod等，PyTorch都实现了运算符重载，所以可以直接使用运算符。如a ** 2 等价于torch.pow(a,2), a * 2等价于torch.mul(a,2)。

其中clamp(x, min, max)的输出满足以下公式：

clamp常用在某些需要比较大小的地方，如取一个tensor的每个元素与另一个数的较大值。

a = t.arange(0, 6).view(2, 3).float()
t.cos(a)

a % 3 # 等价于t.fmod(a, 3)

a ** 2 # 等价于t.pow(a, 2)

# 取a中的每一个元素与3相比较大的一个 (小于3的截断成3)
print(a)
t.clamp(a, min=3)

b = a.sin_() # 效果同 a = a.sin();b=a ,但是更高效节省显存
a

归并操作

归并操作
此类操作会使输出形状小于输入形状，并可以沿着某一维度进行指定操作。如加法sum，既可以计算整个tensor的和，也可以计算tensor中每一行或每一列的和。常用的归并操作如表.

以上大多数函数都有一个参数dim，用来指定这些操作是在哪个维度上执行的。关于dim(对应于Numpy中的axis)的解释众说纷纭，这里提供一个简单的记忆方式：

假设输入的形状是(m, n, k)

如果指定dim=0，输出的形状就是(1, n, k)或者(n, k)
如果指定dim=1，输出的形状就是(m, 1, k)或者(m, k)
如果指定dim=2，输出的形状就是(m, n, 1)或者(m, n)
size中是否有"1"，取决于参数keepdim，keepdim=True会保留维度1。注意，以上只是经验总结，并非所有函数都符合这种形状变化方式，如cumsum。

b = t.ones(2, 3)
b.sum(dim = 0, keepdim=True)

# keepdim=False，不保留维度"1"，注意形状
b.sum(dim=0, keepdim=False)

b.sum(dim=1)

a = t.arange(0, 6).view(2, 3)
print(a)
a.cumsum(dim=1) # 沿着行累加

比较

比较函数中有一些是逐元素比较，操作类似于逐元素操作，还有一些则类似于归并操作。常用比较函数如表.

表中第一行的比较操作已经实现了运算符重载，因此可以使用a>=b、a>b、a!=b、a==b，其返回结果是一个ByteTensor，可用来选取元素。max/min这两个操作比较特殊，以max来说，它有以下三种使用情况：

t.max(tensor)：返回tensor中最大的一个数
t.max(tensor,dim)：指定维上最大的数，返回tensor和下标
t.max(tensor1, tensor2): 比较两个tensor相比较大的元素
至于比较一个tensor和一个数，可以使用clamp函数。下面举例说明。

a = t.linspace(0, 15, 6).view(2, 3)
a

b = t.linspace(15, 0, 6).view(2, 3)
b

a>b

a[a>b] # a中大于b的元素

t.max(a)

t.max(b, dim=1) 
# 第一个返回值的15和6分别表示第0行和第1行最大的元素
# 第二个返回值的0和0表示上述最大的数是该行第0个元素

t.max(a,b)

# 比较a和10较大的元素
t.clamp(a, min=10)

线性代数

PyTorch的线性函数主要封装了Blas和Lapack，其用法和接口都与之类似。常用的线性代数函数如表.

矩阵的转置会导致存储空间不连续，需调用它的.contiguous方法将其转为连续。

b = a.t()
b.is_contiguous()

b.contiguous()

Tensor和Numpy

Tensor和Numpy数组之间具有很高的相似性，彼此之间的互操作也非常简单高效。需要注意的是，Numpy和Tensor共享内存。由于Numpy历史悠久，支持丰富的操作，所以当遇到Tensor不支持的操作时，可先转成Numpy数组，处理后再转回tensor，其转换开销很小。

import numpy as np
a = np.ones([2, 3],dtype=np.float32)
a

b = t.from_numpy(a)
b

b = t.Tensor(a) # 也可以直接将numpy对象传入Tensor
b

a[0, 1]=100
b

c = b.numpy() # a, b, c三个对象共享内存
c

当numpy的数据类型和Tensor的类型不一样的时候，数据会被复制，不会共享内存。

a = np.ones([2, 3])
# 注意和上面的a的区别（dtype不是float32）
a.dtype

b = t.Tensor(a) # 此处进行拷贝，不共享内存
b.dtype

c = t.from_numpy(a) # 注意c的类型（DoubleTensor）
print(c)
a[0, 1] = 100
print(b) # b与a不共享内存，所以即使a改变了，b也不变
print(c) # c与a共享内存

注意： 不论输入的类型是什么，t.tensor都会进行数据拷贝，不会共享内存

tensor = t.tensor(a)
tensor[0,0]=0
a

广播法则(broadcast)是科学运算中经常使用的一个技巧，它在快速执行向量化的同时不会占用额外的内存/显存。 Numpy的广播法则定义如下：

• 让所有输入数组都向其中shape最长的数组看齐，shape中不足的部分通过在前面加1补齐
• 两个数组要么在某一个维度的长度一致，要么其中一个为1，否则不能计算
• 当输入数组的某个维度的长度为1时，计算时沿此维度复制扩充成一样的形状

PyTorch当前已经支持了自动广播法则，但是笔者还是建议读者通过以下两个函数的组合手动实现广播法则，这样更直观，更不易出错：

• unsqueeze或者view，或者tensor[None],：为数据某一维的形状补1，实现法则1
• expand或者expand_as，重复数组，实现法则3；该操作不会复制数组，所以不会占用额外的空间。

注意，repeat实现与expand相类似的功能，但是repeat会把相同数据复制多份，因此会占用额外的空间。

a = t.ones(3, 2)
b = t.zeros(2, 3, 1)

# 自动广播法则
# 第一步：a是2维,b是3维，所以先在较小的a前面补1 ，
#               即：a.unsqueeze(0)，a的形状变成（1，3，2），b的形状是（2，3，1）,
# 第二步:   a和b在第一维和第三维形状不一样，其中一个为1 ，
#               可以利用广播法则扩展，两个形状都变成了（2，3，2）
a+b

# 手动广播法则
# 或者 a.view(1,3,2).expand(2,3,2)+b.expand(2,3,2)
a[None].expand(2, 3, 2) + b.expand(2,3,2)

# expand不会占用额外空间，只会在需要的时候才扩充，可极大节省内存
e = a.unsqueeze(0).expand(10000000000000, 3,2)

内部结构

tensor的数据结构如图3-1所示。tensor分为头信息区(Tensor)和存储区(Storage)，信息区主要保存着tensor的形状（size）、步长（stride）、数据类型（type）等信息，而真正的数据则保存成连续数组。由于数据动辄成千上万，因此信息区元素占用内存较少，主要内存占用则取决于tensor中元素的数目，也即存储区的大小。

一般来说一个tensor有着与之相对应的storage, storage是在data之上封装的接口，便于使用，而不同tensor的头信息一般不同，但却可能使用相同的数据。下面看两个例子。

a = t.arange(0, 6)
a.storage()

b = a.view(2, 3)
b.storage()

# 一个对象的id值可以看作它在内存中的地址
# storage的内存地址一样，即是同一个storage
id(b.storage()) == id(a.storage())

# a改变，b也随之改变，因为他们共享storage
a[1] = 100
b

c = a[2:] 
c.storage()

c.data_ptr(), a.data_ptr() # data_ptr返回tensor首元素的内存地址
# 可以看出相差16，这是因为2*8=16--相差两个元素，每个元素占8个字节(float)

c[0] = -100 # c[0]的内存地址对应a[2]的内存地址
a

d = t.LongTensor(c.storage())
d[0] = 6666
b

# 下面４个tensor共享storage
id(a.storage()) == id(b.storage()) == id(c.storage()) == id(d.storage())

a.storage_offset(), c.storage_offset(), d.storage_offset()

e = b[::2, ::2] # 隔2行/列取一个元素
id(e.storage()) == id(a.storage())

b.stride(), e.stride()

e.is_contiguous()

可见绝大多数操作并不修改tensor的数据，而只是修改了tensor的头信息。这种做法更节省内存，同时提升了处理速度。在使用中需要注意。 此外有些操作会导致tensor不连续，这时需调用tensor.contiguous方法将它们变成连续的数据，该方法会使数据复制一份，不再与原来的数据共享storage。 另外读者可以思考一下，之前说过的高级索引一般不共享stroage，而普通索引共享storage，这是为什么？（提示：普通索引可以通过只修改tensor的offset，stride和size，而不修改storage来实现）。

其它有关Tensor的话题

CPU/GPU

tensor可以很随意的在gpu/cpu上传输。使用tensor.cuda(device_id)或者tensor.cpu()。另外一个更通用的方法是tensor.to(device)。

a = t.randn(3, 4)
a.device

if t.cuda.is_available():
    a = t.randn(3,4, device=t.device('cuda:0'))
    # 等价于
    # a.t.randn(3,4).cuda(1)
    # 但是前者更快
    a.device
    
device = t.device('cpu')
a.to(device)

注意:

• 尽量使用tensor.to(device), 将device设为一个可配置的参数，这样可以很轻松的使程序同时兼容GPU和CPU
• 数据在GPU之中传输的速度要远快于内存(CPU)到显存(GPU), 所以尽量避免频繁的在内存和显存中传输数据。

持久化

Tensor的保存和加载十分的简单，使用t.save和t.load即可完成相应的功能。在save/load时可指定使用的pickle模块，在load时还可将GPU tensor映射到CPU或其它GPU上。

if t.cuda.is_available():
    a = a.cuda(1) # 把a转为GPU1上的tensor,
    t.save(a,'a.pth')

    # 加载为b, 存储于GPU1上(因为保存时tensor就在GPU1上)
    b = t.load('a.pth')
    # 加载为c, 存储于CPU
    c = t.load('a.pth', map_location=lambda storage, loc: storage)
    # 加载为d, 存储于GPU0上
    d = t.load('a.pth', map_location={'cuda:1':'cuda:0'})

向量化

向量化计算是一种特殊的并行计算方式，相对于一般程序在同一时间只执行一个操作的方式，它可在同一时间执行多个操作，通常是对不同的数据执行同样的一个或一批指令，或者说把指令应用于一个数组/向量上。向量化可极大提高科学运算的效率，Python本身是一门高级语言，使用很方便，但这也意味着很多操作很低效，尤其是for循环。在科学计算程序中应当极力避免使用Python原生的for循环。

def for_loop_add(x, y):
    result = []
    for i,j in zip(x, y):
        result.append(i + j)
    return t.Tensor(result)
x = t.zeros(100)
y = t.ones(100)
%timeit -n 10 for_loop_add(x, y)
%timeit -n 10 x + y

可见二者有超过几十倍的速度差距，因此在实际使用中应尽量调用内建函数(buildin-function)，这些函数底层由C/C++实现，能通过执行底层优化实现高效计算。因此在平时写代码时，就应养成向量化的思维习惯，千万避免对较大的tensor进行逐元素遍历。

此外还有以下几点需要注意：

• 大多数t.function都有一个参数out，这时候产生的结果将保存在out指定tensor之中。
• t.set_num_threads可以设置PyTorch进行CPU多线程并行计算时候所占用的线程数，这个可以用来限制PyTorch所占用的CPU数目。
• t.set_printoptions可以用来设置打印tensor时的数值精度和格式。 下面举例说明。

a = t.arange(0, 2000000000)
print(a[-1], a[-2]) # 32bit的IntTensor精度有限导致溢出
b = t.LongTensor()
t.arange(0, 2000000000, out=b) # 64bit的LongTensor不会溢出
b[-1],b[-2]

a = t.randn(2,3)
a

t.set_printoptions(precision=10)
a

小试牛刀：线性回归

线性回归是机器学习入门知识，应用十分广泛。线性回归利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的，其表达形式为\(y = wx+b+e\)，\(e\)为误差服从均值为0的正态分布。首先让我们来确认线性回归的损失函数：

\[loss = \sum_i^N \frac 1 2 ({y_i-(wx_i+b)})^2 \]

然后利用随机梯度下降法更新参数\(\textbf{w}\)和\(\textbf{b}\)来最小化损失函数，最终学得\(\textbf{w}\)和\(\textbf{b}\)的数值。

import torch as t
%matplotlib inline
from matplotlib import pyplot as plt
from IPython import display

device = t.device('cpu') #如果你想用gpu，改成t.device('cuda:0')
# 设置随机数种子，保证在不同电脑上运行时下面的输出一致
t.manual_seed(1000) 

def get_fake_data(batch_size=8):
    ''' 产生随机数据：y=x*2+3，加上了一些噪声'''
    x = t.rand(batch_size, 1, device=device) * 5
    y = x * 2 + 3 +  t.randn(batch_size, 1, device=device)
    return x, y

# 来看看产生的x-y分布
x, y = get_fake_data(batch_size=16)
plt.scatter(x.squeeze().cpu().numpy(), y.squeeze().cpu().numpy())

# 随机初始化参数
w = t.rand(1, 1).to(device)
b = t.zeros(1, 1).to(device)

lr =0.02 # 学习率

for ii in range(500):
    x, y = get_fake_data(batch_size=4)
    
    # forward：计算loss
    y_pred = x.mm(w) + b.expand_as(y) # x@W等价于x.mm(w);for python3 only
    loss = 0.5 * (y_pred - y) ** 2 # 均方误差
    loss = loss.mean()
    
    # backward：手动计算梯度
    dloss = 1
    dy_pred = dloss * (y_pred - y)
    
    dw = x.t().mm(dy_pred)
    db = dy_pred.sum()
    
    # 更新参数
    w.sub_(lr * dw)
    b.sub_(lr * db)
    
    if ii%50 ==0:
       
        # 画图
        display.clear_output(wait=True)
        x = t.arange(0, 6).view(-1, 1)
        y = x.float().mm(w) + b.expand_as(x)
        plt.plot(x.cpu().numpy(), y.cpu().numpy()) # predicted
        
        x2, y2 = get_fake_data(batch_size=32) 
        plt.scatter(x2.numpy(), y2.numpy()) # true data
        
        plt.xlim(0, 5)
        plt.ylim(0, 13)
        plt.show()
#         plt.pause(0.5)
        
print('w: ', w.item(), 'b: ', b.item())

可见程序已经基本学出w=2、b=3，并且图中直线和数据已经实现较好的拟合。
虽然上面提到了许多操作，但是只要掌握了这个例子基本上就可以了，其他的知识，读者日后遇到的时候，可以再看看这部份的内容或者查找对应文档。