Magic Index 寻找数组中A[i]=i的位置（原题转自微信号待字闺中）

　　有一个有意思的题目叫做Magic Index：给定一个数组A，其中有一个位置被称为Magic Index，含义是：如果i是Magic Index，则A[i] = i。假设A中的元素递增有序、且不重复，请给出方法，找到这个Magic Index。更进一步，当A中允许有重复的元素，该怎么办呢？

　　一般情况下这种题目一看没有多复杂的时间复杂度，直接扫描一边数组就好了，O(n)，当我们认识读题目的时候发现有个体检没有用到就是这个“数组元素递增有序，不重复”，这句话会不会给我们带来捷径呢，事实是可以的。通常在有序的数组中查找满足条件的元素，我们通常会想到二分法。这里不再啰嗦二分法的思想了。

那么，我们的题目能够利用上述的思想呢？我们来看一个具体的例子：

0 1 2 3 4 5 6
-10 -5 1 2 4 10 12
mid=3，A[mid] = 2，即A[mid] < mid。接下来，我们应该在哪一边查找呢？我们知道数组的元素是递增有序，且不重复的，也就是说，在A[mid]左边的元素，比A[mid]都要小，没有重复，意味着什么呢？每向左移动一位，至少减1。所以，在mid左边，不可能有一个i，A[i]=i的。如果有，根据前面的分析，我们知道A[mid] - A[i] >= mid - i, 如果A[i] = i，则，A[mid] >= mid, 这与事实A[mid] < mid相悖。所以，接下来，只能在右边进行查找。代码与二分查找也很像。

有重复元素的情况

如果数组A中，有重复元素，是什么情况呢？经过前面的分析，我们知道，是否有重复的主要差别在，数组的元素从右到左进行递减，每次不一定至少是1了，有可能是0了。让我们直观的看一下影响吧。

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    9    10    12

看上面的数组，同样A[mid] < mid。我们应该继续查右边么？显然，右边并不存在Magic Index。查找右边，就会找不到这样的Magic Index。此时，应该如何处理呢？我们无法确定，Magic Index是在左边，还是在右边了。那就两边都递归进行处理吧。

在这里还有一个小技巧，我们就是要分别递归处理[0, mid - 1]和[mid + 1， end]（end是数组长度-1）么？我们看一个具体的例子：

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    2    10    12

这个例子，当我们进行左半部分递归处理的时候，需要考虑的范围是[0, 3]。可实际上，我们只需要考虑[0, 2]。原因是，数组元素在mid=4的左边的值都要小于或者等于A[mid]=2，所以最大的一个有可能是Magic Index的，就是index为A[mid]的情况。所以，这时右边的边界应该是min(mid - 1, A[mid])。

那么，右边的情况呢？如下例子：

0    1    2    3    4    5    6    
-10    2    2    2    9    10    12

此时，要在右半部分进行查找，范围一般是[5, 8]。但是，由于数组有序，后面的值，一定是大于等于A[mid]=9的。所以，有可能是Magic Index的最小Index是9，也就是说右边的递归，从max(mid+1，A[mid])开始查找，本题应该是从索引为9的位置开始。此例，就意味着，无需处理右边了。