动态规划——总结

　　先把前面介绍的动态规划模型列举如下：

　　（1）最大连续子序列和

　　令 dp[i] 表示以 A[i] 作为结尾的连续序列的最大和。

　　（2）最长不下降子序列（LIS）

　　令 dp[i] 表示以 A[i] 作为结尾的最长不下降子序列长度。

　　（3）最长公共子序列（LCS）

　　令 dp[i][j] 表示字符串 A 的 i 号位和字符串 B 的 j 号位之间的 LCS 长度。

　　（4）最长回文子串

　　令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串。

　　（5）数塔 DP

　　令 dp[i][j] 表示从第 i 行第 j 个数字出发的到达最底层的所有路径上所能得到的最大和。

　　（6）DAG 最长路

　　令 dp[i] 表示从 i 号顶点出发能获得的最长路径长度。

　　（7）01 背包

　　令 dp[i][v] 表示前 i 件物品恰好装入容量为 v 的背包中能获得的最大价值。

　　（8）完全背包

　　令 dp[i][v] 表示前 i 件物品恰好放入容量为 v 的背包中能获得的最大价值。　　

　　特别说明：一般来说，“子序列”可以不连续，“子串”必须连续。

 

　　先看（1）~（4），可得到当题目与序列或字符串（记为 A）有关时，可以考虑把状态设计成下面两种形式，然后根据端点特点去考虑状态转移方程。

1. 1.  令 dp[i] 表示以 A[i] 结尾（或开头）的 XXX。
   2.  令 dp[i][j] 表示 A[i] 至 A[j] 区间的 XXX。　　　　　　

　　　　　　其中 XXX 均为原问题的表述。

 

　　接着看（5）~（8），这类题目需要分析题目中的状态需要几维来表示，然后对其中的每一维采取下面的某一个表述：

1. 1.  恰好为 i。
   2.  前 i。　　　　

　　在每一维的含义设置完毕之后，dp 数组的含义就可以设置成“令 dp 数组表示恰好为 i （或前 i）、恰好为 j（或前 j）…… 的 XXX”，其中 XXX 为原问题的描述。接下来就可以通过端点的特点去考虑状态转移方程。