动态规划——最长不下降子序列（LIS）

　　最长不降子序列是这样一个问题：

 

　　

　　下面介绍动态规划的做法。

　　令 dp[i] 表示以 A[i] 结尾的最长不下降序列长度。这样对 A[i] 来说就会有两种可能：

1. 1.  如果存在 A[i] 之前的元素 A[j] (j<i)，使得 A[j]≤A[i] 且 dp[j]+1>dp[i]，那么就把 A[i] 跟在以 A[j] 结尾的 LIS 后面，形成一条更长的不下降子序列（令 dp[i]=dp[j]+1）。
   2.  如果 A[i] 之前的元素都比 A[i] 大，那么 A[i] 就只好自己形成一条 LIS，但是长度为 1。

　　由此可以写出状态转移方程：

　　　　　　　　　　　　dp[i] = max{1, dp[j]+1} (j=1,2,....,i-1&&A[j]<A[i])

　　上面的状态转移方程中隐含了边界：dp[i]=1(1≤i≤n)。显然 dp[i] 只与小于 i 的 j 有关，因此只要让 i 从小到大遍历即可求出整个 dp 数组。然后从整个 dp 数组中找出最大的那个就是要寻求的整个序列的 LIS 长度，整体复杂度为 O(n²)。

　　代码如下：

/*
    最长不下降子序列 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 100
int A[maxn], dp[maxn]; 

int main() {
    int n, i, j;
    scanf("%d", &n);
    for(i=1; i<=n; ++i) {                // 输入序列 
        scanf("%d", &A[i]);
    } 
    int ans = -1;                        // 记录最大的长度 
    for(i=1; i<=n; ++i) {
        dp[i] = 1;                        // 初始为仅为自己 
        for(j=1; j<i; ++j) {
            if(A[i] >= A[j] && (dp[j]+1 > dp[i])) {
                dp[i] = dp[j] + 1;        // 状态转移方程 
            }
        }
        if(dp[i] > ans) {
            ans = dp[i];                // 保存最大值 
        } 
    } 
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}