数据结构——二叉查找树
一、二叉查找树的定义
二叉查找树是一种特殊的二叉树，又称为排序二叉树、二叉搜索树、二叉排序树。递归定义如下：
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- 要么二叉查找树是一棵空树
- 要么二叉查找树由根结点、左子树、右子树组成，其中左子树和右子树都是二叉查找树，且左子树上所有结点的数据域均小于或等于根结点的数据域，右子树上所有结点的数据域均大于根结点的数据域。
二、二叉查找树的基本操作
二叉查找树的基本操作有查找、插入、建树、删除。
1. 查找操作
二叉查找树的性质决定了可以只选择其中一棵子树进行遍历，因此查找将会是从树根到查找结点的一条路径，故最坏复杂度为 O(h)，其中 h 是二叉查找树的高度。代码如下：
1 // 查找二叉查找树中数据域为 x 的结点 2 void search(node* root, int x) { 3 if(root == NULL) { // 空树，查找失败 4 printf("search failed\n"); 5 return; 6 } 7 if(x == root->data) { // 查找成功，访问之 8 printf("search success %d\n", root->data); 9 } else if(x < root->data) { // x 比根结点的数据域小，往左子树查找 10 search(root->lchild, x); 11 } else { 12 search(root->rchild, x); // x 比根结点的数据域大，往右子树查找 13 } 14 }
2. 插入操作
对一棵二叉查找树来说，查找某个数据域的结点一定是沿着确定的路径进行的。因此，当某个需要查找的值在二叉查找树中查找成功，说明结点已经存在；反之，如果这个需要查找的值在二叉查找树中查找失败，那么说明查找失败的地方一定是结点需要插入的地方。代码如下：
1 // 在二叉树中插入一个数据域为 x 的新结点 2 void insert(node** root, int x) { 3 if((*root) == NULL) { // 空树，说明查找失败，即为插入位置 4 (*root) = newNode(x); // 生成数据域为 x 的结点 5 return; 6 } 7 if(x == (*root)->data) { // 查找成功，说明数据已经存在 8 return; 9 } else if(x < (*root)->data) { // x 比根结点的数据域小，往左子树查找 10 insert(&(*root)->lchild, x); 11 } else { 12 insert(&(*root)->rchild, x); // x 比根结点的数据域大，往右子树查找 13 } 14 }
3. 二叉查找树的建立
建立一棵二叉查找树，就是先后插入 n 个结点的过程。代码如下：
1 // 二叉查找树的建立 2 node* create(int data[], int n) { 3 node* root = NULL; // 新建根结点 root 4 int i; 5 for(i=0; i<n; ++i) { 6 insert(&root, data[i]); // 将 data 中数据依次插入二叉树 7 } 8 return root; // 返回根结点 9 }
4. 二叉查找树的删除
为了保证操作之后仍然是一棵二叉查找树，可以以树中比待删除结点小的最大结点覆盖该结点，然后删除找到的最大结点；也可以以树中比待删除结点大的最小结点覆盖该结点，然后删除找到的最小结点。下面两个函数用来寻找以 root 为根的树中最大或最小权值的结点，用以辅助寻找结点的前驱和后继，代码如下：
1 // 寻找以 root 为根结点的树中的最大权值结点 2 node* findMax(node* root) { 3 while(root->rchild != NULL) { 4 root = root->rchild; // 不断往右，直到没有右孩子 5 } 6 return root; 7 } 8 9 // 寻找以 root 为根结点的树中的最小权值结点 10 node* findMin(node* root) { 11 while(root->lchild != NULL) { 12 root = root->lchild; // 不断往左，直到没有左孩子 13 } 14 return root; 15 }
删除操作的代码如下：
1 void deleteNode(node** root, int x) { 2 if((*root) == NULL) { 3 return; // 不存在数据为 x 的结点 4 } 5 if((*root)->data == x) { // 找到欲删除结点 6 if((*root)->lchild == NULL && (*root)->rchild == NULL) { 7 // 叶子结点，直接删除 8 (*root) = NULL; 9 } else if((*root)->lchild != NULL) { // 左子树不为空 10 node* pre = findMax((*root)->lchild); // 找前驱结点 11 (*root)->data = pre->data; // 用前驱结点覆盖原结点 12 deleteNode(&(*root)->lchild, pre->data); // 在左子树中删除前驱结点 13 } else { // 右子树不为空 14 node* next = findMin((*root)->rchild); // 找后继结点 15 (*root)->data = next->data; // 用后继结点覆盖原结点 16 deleteNode(&(*root)->rchild, next->data); // 在左子树中删除后继结点 17 } 18 } else if((*root)->data > x) { 19 deleteNode(&(*root)->lchild, x); // 在左子树删除 x 20 } else { 21 deleteNode(&(*root)->rchild, x); // 在右子树删除 x 22 } 23 }
完整的测试代码如下：
1 /* 2 二叉查找树 3 */ 4 5 #include <stdio.h> 6 #include <string.h> 7 #include <math.h> 8 #include <stdlib.h> 9 #include <time.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define typename int 13 #define maxn 20 14 // 二叉树结构定义 15 typedef struct _node { 16 typename data; // 数据域 17 struct _node* lchild; // 指向左子树的根结点 18 struct _node* rchild; // 指向右子树的根结点 19 } node; 20 21 // 生成一个新节点，v为数据 22 node* newNode(typename v) { 23 node* Node = (node*)malloc(sizeof(node)); 24 Node->data = v; 25 // 初始状态下没有左右子树 26 Node->lchild = Node->rchild = NULL; 27 return Node; 28 } 29 30 // 查找二叉查找树中数据域为 x 的结点 31 void search(node* root, int x) { 32 if(root == NULL) { // 空树，查找失败 33 printf("search failed\n"); 34 return; 35 } 36 if(x == root->data) { // 查找成功，访问之 37 printf("search success %d\n", root->data); 38 } else if(x < root->data) { // x 比根结点的数据域小，往左子树查找 39 search(root->lchild, x); 40 } else { 41 search(root->rchild, x); // x 比根结点的数据域大，往右子树查找 42 } 43 } 44 45 // 在二叉树中插入一个数据域为 x 的新结点 46 void insert(node** root, int x) { 47 if((*root) == NULL) { // 空树，说明查找失败，即为插入位置 48 (*root) = newNode(x); // 生成数据域为 x 的结点 49 return; 50 } 51 if(x == (*root)->data) { // 查找成功，说明数据已经存在 52 return; 53 } else if(x < (*root)->data) { // x 比根结点的数据域小，往左子树查找 54 insert(&(*root)->lchild, x); 55 } else { 56 insert(&(*root)->rchild, x); // x 比根结点的数据域大，往右子树查找 57 } 58 } 59 60 // 二叉查找树的建立 61 node* create(int data[], int n) { 62 node* root = NULL; // 新建根结点 root 63 int i; 64 for(i=0; i<n; ++i) { 65 insert(&root, data[i]); // 将 data 中数据依次插入二叉树 66 } 67 return root; // 返回根结点 68 } 69 70 // 寻找以 root 为根结点的树中的最大权值结点 71 node* findMax(node* root) { 72 while(root->rchild != NULL) { 73 root = root->rchild; // 不断往右，直到没有右孩子 74 } 75 return root; 76 } 77 78 // 寻找以 root 为根结点的树中的最小权值结点 79 node* findMin(node* root) { 80 while(root->lchild != NULL) { 81 root = root->lchild; // 不断往左，直到没有左孩子 82 } 83 return root; 84 } 85 86 void deleteNode(node** root, int x) { 87 if((*root) == NULL) { 88 return; // 不存在数据为 x 的结点 89 } 90 if((*root)->data == x) { // 找到欲删除结点 91 if((*root)->lchild == NULL && (*root)->rchild == NULL) { 92 // 叶子结点，直接删除 93 (*root) = NULL; 94 } else if((*root)->lchild != NULL) { // 左子树不为空 95 node* pre = findMax((*root)->lchild); // 找前驱结点 96 (*root)->data = pre->data; // 用前驱结点覆盖原结点 97 deleteNode(&(*root)->lchild, pre->data); // 在左子树中删除前驱结点 98 } else { // 右子树不为空 99 node* next = findMin((*root)->rchild); // 找后继结点 100 (*root)->data = next->data; // 用后继结点覆盖原结点 101 deleteNode(&(*root)->rchild, next->data); // 在左子树中删除后继结点 102 } 103 } else if((*root)->data > x) { 104 deleteNode(&(*root)->lchild, x); // 在左子树删除 x 105 } else { 106 deleteNode(&(*root)->rchild, x); // 在右子树删除 x 107 } 108 } 109 110 // 先序遍历 111 void preorder(node* root) { 112 if(root == NULL) { 113 return; // 空树，递归边界 114 } 115 printf("%d\n", root->data); // 访问该结点 116 preorder(root->lchild); // 访问左子树 117 preorder(root->rchild); // 访问右子树 118 } 119 120 int main() { 121 int data[10] = {5, 1, 8, 0, 3, 6, 9, 2, 4, 7}; 122 node* root = NULL; 123 root = create(data, 10); // 创建二叉查找树 124 preorder(root); // 先序遍历 125 search(root, 11); // 查找数据域为 11 的结点 126 deleteNode(&root, 5); // 删除数据域为 5 的结点 127 preorder(root); // 先序遍历 128 129 return 0; 130 }
