数学问题——分数的四则运算
所谓分数的四则运算是指，给定两个分数的分子和分母，求它们加减乘除的结果。
一、 分数的表示和化简
1. 分数的表示
对一个分数来说，最简洁的写法就是写成 假分数 的形式。因此可以使用一个结构体来储存这种只有分子和分母的分数：
1 // 分数的表示 2 typedef struct { 3 int up, down; // 分子，分母 4 } Fraction;
于是就可以定义 Fraction 类型的变量来表示分数，或者定义数组来表示一堆分数。其中需要对这种表示制定三项规则：
-
- 使 down 为非负。若分数为负，那么令分子 up 为负即可。
- 如果该分数恰为 0，那么规定其分子为 0，分母为 1。
- 分子和分母没有除了 1 之外的公约数
2. 分数的化简
分数的化简主要用来使 Fraction 变量满足上述分数表示的三项规则，因此化简步骤也可分成以下三步：
-
- 如果分母 down 为负数，那么令分子 up 和分母 down 都变为相反数。
- 如果分子 up 为 0，那么令分母 down 为 1。
- 约分：求出分子绝对值与分母绝对值的最大公约数 d，然后令分子分母同时除以 d。
代码如下：
1 // 分数化简 2 Fraction reduction(Fraction result) { 3 if(result.down < 0) { // 分母为负数 4 result.up = -result.up; 5 result.down = -result.down; 6 } 7 if(result.up == 0) { // 分数为 0 8 result.down = 1; 9 } else { // 约分 10 int d = gcd(abs(result.up), abs(result.down)); // 求最大公约数 11 result.up /= d; // 约分 12 result.down /= d; 13 } 14 15 return result; 16 }
二、 分数的四则运算
1. 分数的加法
对两个分数 f1 和 f2 ，其加法计算公式为
$ result = \frac{f1.up*f2.down + f2.up*f1.down}{f1.down*f2.down} $
代码如下：
1 // 分数的加法 2 Fraction add(Fraction f1, Fraction f2) { 3 Fraction result; 4 result.up = f1.up*f2.down + f2.up*f1.down; // 结果的分子 5 result.down = f1.down*f2.down; // 结果的分母 6 return reduction(result); // 化简 7 }
2. 分数的减法
对两个分数 f1 和 f2，其减法计算公式为
$ result = \frac{f1.up*f2.down - f2.up*f1.down}{f1.down*f2.down} $
代码如下：
1 // 分数的减法 2 Fraction minu(Fraction f1, Fraction f2) { 3 Fraction result; 4 result.up = f1.up*f2.down - f2.up*f1.down; // 结果的分子 5 result.down = f1.down*f2.down; // 结果的分母 6 return reduction(result); // 化简 7 }
3. 分数的乘法
对两个分数 f1 和 f2 ，其乘法计算公式为
$ result = \frac{f1.up*f2.up}{f1.down*f2.down} $
代码如下：
1 // 分数的乘法 2 Fraction multi(Fraction f1, Fraction f2) { 3 Fraction result; 4 result.up = f1.up*f2.up; // 结果的分子 5 result.down = f1.down*f2.down; // 结果的分母 6 return reduction(result); // 化简 7 }
4. 分数的除法
对两个分数 f1 和 f2 ，其除法计算公式为
$ result = \frac{f1.up*f2.down}{f1.down*f2.up} $
代码如下：
1 // 分数的除法 2 Fraction divide(Fraction f1, Fraction f2) { 3 Fraction result; 4 result.up = f1.up*f2.down; // 结果的分子 5 result.down = f1.down*f2.up; // 结果的分母 6 return reduction(result); // 化简 7 }
分数有额外注意事项。如果读入的除数为 0，那么应当直接特判输出题目要求的输出语句。只有当除数不为 0 时，才能用上面的函数进行计算。
三、 分数的输出
分数的输出根据题目的要求进行，但是大体上有以下几个注意点：
-
- 输出分数前，需要先对其进行化简。
- 如果分数 r 的分母 down 为 1，直接输出分子，而省略分母的输出。
- 如果分数 r 的分子 up 的绝对值大于分母 down，此时应按带分数的形式输出，即整数部分为 r.up/r.down ，分子部分为 abs(r.up)%r.down，分母部分为 r.down。
- 以上均不满足按原样输出即可
代码如下：
1 // 分数的输出 2 void showResult(Fraction r) { 3 r = reduction(r); // 化简 4 if(r.down == 1) { // r 为整数 5 printf("%lld\n", r.up); 6 } else if(abs(r.up) > r.down) { // r 为假分数 7 printf("%d %d/%d\n", r.up/r.down, abs(r.up)%r.down, r.down); 8 } else { 9 printf("%d/%d\n", r.up, r.down); 10 } 11 }
为了防止计算时溢出，分子和分母应当使用 long long 型来存储。
完整代码如下：
1 /* 2 分数的四则运算 3 */ 4 5 #include <stdio.h> 6 #include <string.h> 7 #include <math.h> 8 #include <stdlib.h> 9 #include <time.h> 10 11 // 分数的表示 12 typedef struct { 13 int up, down; // 分子，分母 14 } Fraction; 15 16 // 欧几里得算法求最大公约数 17 int gcd(int a, int b) { 18 if(b == 0) return a; 19 else return gcd(b, a%b); 20 } 21 22 // 分数化简 23 Fraction reduction(Fraction result) { 24 if(result.down < 0) { // 分母为负数 25 result.up = -result.up; 26 result.down = -result.down; 27 } 28 if(result.up == 0) { // 分数为 0 29 result.down = 1; 30 } else { // 约分 31 int d = gcd(abs(result.up), abs(result.down)); // 求最大公约数 32 result.up /= d; // 约分 33 result.down /= d; 34 } 35 36 return result; 37 } 38 39 // 分数的加法 40 Fraction add(Fraction f1, Fraction f2) { 41 Fraction result; 42 result.up = f1.up*f2.down + f2.up*f1.down; // 结果的分子 43 result.down = f1.down*f2.down; // 结果的分母 44 return reduction(result); // 化简 45 } 46 47 // 分数的减法 48 Fraction minu(Fraction f1, Fraction f2) { 49 Fraction result; 50 result.up = f1.up*f2.down - f2.up*f1.down; // 结果的分子 51 result.down = f1.down*f2.down; // 结果的分母 52 return reduction(result); // 化简 53 } 54 55 // 分数的乘法 56 Fraction multi(Fraction f1, Fraction f2) { 57 Fraction result; 58 result.up = f1.up*f2.up; // 结果的分子 59 result.down = f1.down*f2.down; // 结果的分母 60 return reduction(result); // 化简 61 } 62 63 // 分数的除法 64 Fraction divide(Fraction f1, Fraction f2) { 65 Fraction result; 66 result.up = f1.up*f2.down; // 结果的分子 67 result.down = f1.down*f2.up; // 结果的分母 68 return reduction(result); // 化简 69 } 70 71 // 分数的输出 72 void showResult(Fraction r) { 73 r = reduction(r); // 化简 74 if(r.down == 1) { // r 为整数 75 printf("%lld\n", r.up); 76 } else if(abs(r.up) > r.down) { // r 为假分数 77 printf("%d %d/%d\n", r.up/r.down, abs(r.up)%r.down, r.down); 78 } else { 79 printf("%d/%d\n", r.up, r.down); 80 } 81 } 82 83 int main() { 84 Fraction f1,f2; 85 f1.down=2, f1.up=1; 86 f2.down=6, f2.up=2; 87 showResult(f1); // 1/2 88 showResult(f2); // 1/3 89 showResult(add(f1,f2)); // 5/6 90 showResult(minu(f1,f2)); // 1/6 91 showResult(multi(f1,f2)); // 1/6 92 showResult(divide(f1,f2)); // 1 1/2 93 94 return 0; 95 }
