843 N-皇后

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在 n∗n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
现在给定整数n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。
输入格式

共一行，包含整数n。
输出格式

每个解决方案占n行，每行输出一个长度为n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中”.”表示某一个位置的方格状态为空，”Q”表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。
数据范围

1≤n≤9

输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

实现思路：

N皇后问题的基础是全排列，按照全排列的思路进行填充，记得一开始要初始化矩阵，因为递归剪枝的时候有些点不会访问填充到。
对于对角和斜角的计算，因为N-皇后问题的摆盘斜线相当于一条直线，正斜线y=x+b,副对角斜线相当于y=-x+b，也就是每一条斜线都是对角斜线上下移动的结果，不同的斜线相差的是一个常数B的值，而且由于-x+b可能是负数，所以+N使其为正数即可。
把角度看作是从第一行的各列开始放，判断可以放的位置放下皇后后，换第二行开始找到合适的列的位置即固定x找一个合适的y，最终在坐标（x，y）处放下皇后。

AC代码：

方法一：

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN=20;
char mg[MAXN][MAXN];
int N,col[MAXN],dg[MAXN],udg[MAXN];

void dfs(int x) {
	if(x==N) {
		for(int i=0; i<N; i++) {
			for(int j=0; j<N; j++) {
				printf("%c",mg[i][j]);
			}
			printf("\n");
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	for(int i=0; i<N; i++) {
		if(!col[i]&&!dg[x+i]&&!udg[N-x+i]) {//本行、斜角、反斜角线上都还未放皇后
			col[i]=dg[x+i]=udg[N-x+i]=1;
			mg[x][i]='Q';//放皇后
			dfs(x+1);//放完皇后进入x+1行继续开始放皇后
			col[i]=dg[x+i]=udg[N-x+i]=0;
		}
		mg[x][i]='.';//不放皇后
	}
}

int main() {
	cin>>N;
	for(int i=0; i<N; i++) {//初始化 因为在一行放皇后之后 其余的列就会跳过
		for(int j=0; j<N; j++) mg[i][j]='.';
	}
	dfs(0);
	return 0;
}

方法二：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=20;
char mg[N][N];
int n,row[N],col[N],dg[N],udg[N];
bool tag=true;

void dfs(int x,int y,int s) {//x行 y列 已放s个皇后
	//到第x行的最后一列了 进入x+1行
	if(y==n) y=0,x++;//走到底再回来
	if(x==n) {//已经遍历完所有的行
		if(s==n) {//有可能存在放小于n个皇后的情况
			if(!tag) printf("\n");
			tag=false;
			for(int i=0; i<n; i++) {
				for(int j=0; j<n; j++) {
					printf("%c",mg[i][j]);
				}
				printf("\n");
			}
		}
		return;
	}
	dfs(x,y+1,s);//不放皇后
	if(!row[x]&&!col[y]&&!dg[n-x+y]&&!udg[x+y]) {//放皇后
		row[x]=col[y]=dg[n-x+y]=udg[x+y]=1;//y=x+b b=y-x b为y轴截距
		mg[x][y]='Q';
		dfs(x,y+1,s+1);
		row[x]=col[y]=dg[n-x+y]=udg[x+y]=0;
		mg[x][y]='.';
	}
}

int main() {
	for(int i=0; i<N; i++) {
		for(int j=0; j<N; j++) {
			mg[i][j]='.';
		}
	}
	cin>>n;
	dfs(0,0,0);
	return 0;
}

tips：本题和pat中的A1103有很大雷同之处，可以一同看看，而且本题非常经典，方法二中是传统暴力法，相当于一棵二叉树，左孩子是不放皇后，又孩子是放皇后，在放皇后的一侧进行了剪枝，然后回溯寻找答案。