红黑树解读
解读红黑树
1、红黑树（Red Black Tree）
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红黑树也是一种自平衡的二叉搜索树
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红黑树必须满足一下5条性质
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节点是RED或者BLACK
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根节点是BLACK
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叶子节点（外部节点，空节点）都是BLACK
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RED节点的子节点都是BLACK
RED节点的parent都是BLACK
从根节点到叶子节点的所有路径上不能有2个连续的RED节点
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从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的BLACK节点
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以下即为一颗红黑树：
2、红黑树的等价变换
如上图所示：
- 红黑树和4阶B树（2-3-4树）具有等价性
- BLACK节点与它的RED子节点融合在一起，形成1个B树节点
- 红黑树的BLACK节点个数与4阶B树的节点总个数相等
2.1、红黑树 VS 2-3-4树
上面的是红黑树，下面是与之等价的2-3-4树
3、几个单词和一些辅助函数
- parent：父节点
- sibling：兄弟节点
- uncle：叔父节点（parent的兄弟节点）
- grand：祖父节点（parent的父节点）
// 染色
private Node<E> color(Node<E> node, boolean color) {
if (node == null) return node;
((RBNode<E>)node).color = color;
return node;
}
// 将该节点染为红色
private Node<E> red(Node<E> node) {
return color(node, RED);
}
// 将该节点染为黑色
private Node<E> black(Node<E> node) {
return color(node, BLACK);
}
// 返回该节点的颜色
private boolean colorOf(Node<E> node) {
return node == null ? BLACK : ((RBNode<E>)node).color;
}
// 该节点是否为黑色
private boolean isBlack(Node<E> node) {
return colorOf(node) == BLACK;
}
// 该节点是否为红色
private boolean isRed(Node<E> node) {
return colorOf(node) == RED;
}
public Node<E> sibling(){
if(isLeftChild()){
return parent.right;
}
if(isRightChild()){
return parent.left;
}
return null;
}
4、添加
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已知
- B树中，新元素必定是添加到叶子节点中的
- 4阶B树所有节点的元素个数x都符合1<=x<=3
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建议新添加的节点默认为RED，这样能让红黑树的性质尽快满足
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如果添加的是根节点，染成BLACK即可
4.1、添加的所有情况
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有4中情况满足红黑树的性质4：parent为BLACK
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同样也满足4阶B树的性质
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因此不用做任何处理
如下图所示，如果我们要添加的是红色节点的话，又因为任何添加其实都是在叶子节点处添加，所以我们不需要对这种情况进行任何的处理，如图中的40,78,82,90都是这种情况
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有 8 种情况不满足红黑树的性质 4 ：parent 为 RED（ Double Red ）
- 其中前 4 种属于B树节点上溢的情况
- 剩下的这8中情况就是我们需要进行处理的
接下来我们对其进行一一解析
4.1.1、添加——修复性质4——LL\RR
我们先来看这种情况，我们要在节点50的左边添加一个新的节点，或者我们要在72的右边添加一个新的节点。那么我们要做的事情很简单。我们知道新添加的这俩个节点，他们的父节点都是红色，这样的话，就会有连续的俩个节点都为红色了，那么就违背了红黑树的性质，所以我们要进行一定的调整。
判定条件：uncle（叔父节点）不是RED
其实调整的过程非常的简单：
- 我们只需要将新添加的节点的父节点染成黑色
- 然后将新添加的祖父节点染成红色
- 然后我们对新添加节点的祖父节点进行旋转即可
也就是：
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parent染成BLACK，grand染成RED
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grand进行单选操作
LL：右旋转
RR：左旋转
旋转后如图所示：
4.1.2、添加——修复性质4——LR\RL
我们再看这种情况，这种情况下，新添加的节点处于grand.right.left或者是grand.left.right，也就是我们下图所要添加的节点48或者节点74。对于这种情况，其实处理的方法也很简单，那就是我们要将新添加的节点染黑，然后将它的祖父节点染成红色，并且我们要进行旋转操作。对于下图添加节点48的情况，我们要将它的父节点进行右旋，然后将祖父节点进行左旋；对于下图中添加节点74的情况，我们只需要将它的父节点左旋，然后将它的祖父节点进行右旋就可以了。
判定条件：uncle不是RED
- 自己染成BLACK，grand染成RED
- 进行双旋操作
- LR：parent左旋转，grand右旋转
- RL：parent右旋转，grand左旋转
旋转之后的样子：
4.1.3、添加——修复性质4——上溢——LL
对于这种情况，我们添加元素的时候，肯定会发出上溢的情况，这个时候我们就要将节点进行向上合并的操作。如下图我们要添加新的节点10的时候，我们就需要进行一系列的操作。
首先，我们要将取出中间位置的节点向上合并，我们这里取节点25向上合并，做完这个操作之后，我们将25这个节点染成红色，作为是新添加的节点一样进行处理。然后因为25已经向上合并了，所以原先25节点的左子树和右子树分裂，所以我们要将新添加的节点的父节点，也就是下图的17节点染成黑色，然后我们将下图的33节点也染成黑色，因为现在的33节点也是一个叶子节点，我们知道红黑树里的叶子节点都是黑色的。
判定条件：uncle是RED
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parent、uncle染成BLACK
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grand向上合并
- 染成RED，当作是新添加的节点进行处理
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grand向上合并时，可能继续发生上溢
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若上溢持续到根节点，只需将根节点染成BLACK
添加节点处理后如图所示：
4.1.4、添加——修复性质4——上溢——RR
对于这种情况，其实是和我们上面说的是相似的。对于我们要添加的新节点36来说，如果我们要添加新节点，那么必然会发生上溢的现象。所以我们同样的要选取中间位置的节点进行向上合并，这里我们取节点25进行向上合并，同样的，我们将节点25染成红色，当成新添加的节点进行处理。然后原来25节点的左右子树进行分裂。这个时候，我们应该将parent、uncle染成黑色。
判定条件：uncle是RED
- parent、uncle染成BLACK
- grand向上合并
- 染成RED，当作是新添加的节点进行处理
4.1.5、添加——修复性质4——上溢——LR
在这里我就不一一进行赘述了，下面的情况大家可以自己进行理解
判定条件：uncle是RED
- parent、uncle染成BLACK
- grand向上合并
- 染成RED，当做是新添加的节点进行处理
4.1.6、添加——修复性质4——上溢——RL
判定条件：uncle是RED
- parent、uncle染成BLACK
- grand向上合并
- 染成RED，当做是新添加的节点进行处理
5、删除
- B树中，最后真正被删除的元素都在叶子节点中
5.1、删除——RED节点
- 对于这种情况，我们可以直接进行删除，不用做任何的调整
5.2、删除——BLACK节点
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有3种情况
- 拥有2个RED子节点的BLACK节点
- 不可能被直接删除，因为会找它的子节点代替删除
- 不用考虑这种情况
- 拥有1个RED子节点的BLACK节点
- BLACK叶子节点
我们来说一说，为什么拥有2个RED子节点的BLACK节点的这种情况。如下图，假如我们要删除的是节点55，我们要处理的情况就是找到节点55的前驱结点或者后继节点进行替换节点55，然后将它的前驱结点或者后继节点删除。也就是说，如果我们要删除的节点是55的话，其实我们删除的就是它的前驱结点或者后继节点。
- 拥有2个RED子节点的BLACK节点
5.2.1、删除——拥有1个RED子节点的BLACK节点
- 判定条件：用以替代的子节点是RED
- 将替代的子节点染成BLACK即可保持红黑树性质
我们来简单的叙述一下这种操作，如下图，我们要删除节点46和节点76，因为要替代他们俩位置的都是红色的子节点50和72，所以进行删除的时候我们只需要将俩个节点删除，然后将节点50和72染成黑色就好了
操作之后的样子为：
5.2.2、删除——BLACK叶子节点——sibling为BLACK
- BLACK 叶子节点被删除后，会导致B树节点下溢（比如删除88）
- 如果 sibling 至少有 1 个 RED 子节点
- 进行旋转操作
- 旋转之后的中心节点继承parent的颜色
- 旋转之后的左右节点染为BLACK
5.2.3、删除——BLACK叶子节点——sibling为BLACK
- 判定条件：sibling没有1个RED子节点
- 将sibling染成RED、parent染成BLACK即可修复红黑树性质
- 如果parent是BLACK
- 会导致parent也下溢
- 这时只需要将parent当作被删除的节点处理即可
5.2.4、删除——BLACK叶子节点——sibling为RED
- 如果sibling是RED
- sibling 染成 BLACK，parent 染成 RED，进行旋转
- 于是又回到 sibling 是 BLACK 的情况
6、红黑树的平衡
- 相比AVL树，红黑树的平衡标准比较宽松：没有一条路径会大于其他路径的2倍
- 是一种弱平衡、黑高度平衡
- 红黑树的最大高度是 2 ∗ log2(n + 1) ，依然是 O(logn) 级别
7、平均时间复杂度
- 搜索：O(logn)
- 添加：O(logn)，O(1) 次的旋转操作
- 删除：O(logn)，O(1) 次的旋转操作
8、AVL树 VS 红黑树
- AVL树
- 平衡标准比较严格：每个左右子树的高度差不超过1
- 最大高度是 1.44 ∗ log2 n + 2 − 1.328（100W个节点，AVL树最大树高28）
- 搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度，其中添加仅需 O(1) 次旋转调整、删除最多需要 O(logn) 次旋转调整
- 红黑树
- 平衡标准比较宽松：没有一条路径会大于其他路径的2倍
- 最大高度是 2 ∗ log2(n + 1)（ 100W个节点，红黑树最大树高40）
- 搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度，其中添加、删除都仅需 O(1) 次旋转调整
- 搜索的次数远远大于插入和删除，选择AVL树；搜索、插入、删除次数几乎差不多，选择红黑树
- 相对于AVL树来说，红黑树牺牲了部分平衡性以换取插入/删除操作时少量的旋转操作，整体来说性能要优于AVL树
- 红黑树的平均统计性能优于AVL树，实际应用中更多选择使用红黑树
