B-树的一些理解

B-树

目录

• B-树
  • 1、B树（B-tree、B-树）
  • 2、m阶B树的性质（m>=2）
  • 3、B树、二叉搜索树
  • 4、搜索
  • 5、添加
    • 5.1、添加——上溢的解决
  • 6、删除——叶子节点
    • 6.1、删除——非叶子节点
      • 6.1.1、删除——下溢
      • 6.1.2、删除——下溢的解决

1、B树（B-tree、B-树）

• B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现
• 仔细观察B树，我们可以看到
  • 1个节点可以存储超过2个元素，可以拥有超过2个子节点
  • 拥有二叉树的一些性质
  • 平衡；每个节点的所有子树高度一致
  • 比较矮

2、m阶B树的性质（m>=2）

• 假设一个节点存储的元素个数为x

  • 根节点：1<=x<=m - 1

  • 非根节点┌m/2┐ - 1 <= x <= m - 1

  • 如果有子节点，子节点个数为y = x + 1

    • 根节点：2 <= y <= m

    • 非根节点：┌m / 2┐ <= y <= m

      比如m = 3, 2 <= y <= 3，因此可以称为（2,3）树、2-3树

      比如m = 4, 2 <= y <= 4，因此可以称为（2,4）树、2-3-4树

      比如m = 5, 3 <= y <= 5，因此可以称为（3,5）树

      比如m = 6, 3 <= y <= 6，因此可以称为（3,6）树

      比如m = 7, 4 <= y <= 7，因此可以称为（4,7）树

如下图所示：

​ 根节点的范围就是1<=x<=m - 1，由于下面这是个4阶B树，所以x的取值范围就应该是1<=x<=3，也就是它存储元素的范围就是1~3

​ 非根节点┌m/2┐ - 1 <= x <= m - 1，这个的意思是对m/2进行向上取整，然后再-1，所以取值范围就是1 <= x <= 3，也就是它存储元素的范围就是1~3

​ 如果一个节点存储的元素个数为x，那么它的子节点的个数就是x + 1，如图所示，我们明显看到节点40的子节点个数就是2

3、B树、二叉搜索树

• B树和二叉搜索树，在逻辑上是等价的
• 多代节点合并，可以获得一个超级节点
  • 2代合并的超级节点，最多拥有4个节点（至少是4阶B树）
  • 3代合并的超级节点，最多拥有8个节点（至少是8阶B树）
  • n代合并的超级节点，最多拥有2^n个节点（至少是4阶B树）

4、搜索

• 跟二叉搜索树的搜索类似

1. 先在节点内部从小到大开始搜索元素
2. 如果命中，搜索结束
3. 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤1

假如我们要搜索的元素是50，那么我们就要找根节点40的右子树，然后元素50小于60，所以要找60的左子树上的元素，然后找到50

5、添加

• 新添加的元素必定是添加到叶子节点

  如图所示，我们要在树中添加一个元素，我们肯定是要添加的树的叶子节点中的

  

• 插入55

  如果插入55，我们首先比较55是大于根节点40的，所以我们55应该是在40的右子树上，然后55小于60，所以应该插到60的左子树上，55大于50，又因为，这棵树是4阶B树，非根节点存储的元素范围是：┌m/2┐ - 1 <= x <= m - 1，也就是1~3,所以直接将55插入到元素50的后面，如下图：

  

• 插入95

  插入95的步骤和上面插入55的步骤相同，如下图：

  

• 再插入98呢？

  但是，当我们往树中插入98之后，因为我们刚刚计算过，非根节点存储的元素范围是1~3，所以当我们要插入一个98的时候，很明显就会出现错误，也就是：

  • 最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
  • 这种现象可以称之为：上溢（overflow）

5.1、添加——上溢的解决

• 上溢节点的元素个数必然等于m
• 假设上溢节点最中间元素的位置为k
  • 将k位置的元素向上与父节点合并
  • 将[0,k - 1]和[k + 1,m - 1]位置的元素分裂成2个字节点
    • 这2个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制(┌m/2┐ - 1)
• 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决
  • 最极端的情况，可能一直分裂到根节点

下面我们举一个列子进行说明：

插入98

插入52

插入54

我们可以很清楚的看到，当我们要插入98的时候，我们右下角节点已经满了，所以我们选取这个节点的中间节点，也就是95，记录它的位置为k,然后我们将95和它的父节点进行合并，然后将[0,k - 1]和[k + 1,m - 1]位置的元素分裂成2个字节点，后面的一次类推，我就不一一赘述了。

6、删除——叶子节点

• 假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可

  

• 删除30

  

6.1、删除——非叶子节点

• 假如需要删除的元素在非叶子节点中

  1. 先找到前驱或者后驱元素，覆盖所需删除元素的值
  2. 再把前驱或后继元素删除

• 删除60

  

  • 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
  • 真正的删除元素都是发生在叶子节点中

6.1.1、删除——下溢

假如，这是一颗5阶B树，我说的是假如，当我们要去删除22元素的时候，我们知道5阶元素，其非根节点的存储范围是┌m/2┐ - 1 <= x <= m - 1，也就是2 <= x <= 4，所以删除22节点之后，很明显就发生了错误

这种现象称为：下溢（underflow）

6.1.2、删除——下溢的解决

• 下溢节点的元素数量必然等于┌m/2┐ - 2，因为非根节点的存储范围是┌m/2┐ - 1 <= x <= m - 1
• 如果将下溢节点临近的兄弟节点，有至少┌m/2┐，可以向其借一个元素，因为储存元素的范围是┌m/2┐ - 1 <= x <= m - 1，所以它至少有┌m/2┐个节点，才能有多余的借给它的兄弟节点
  • 将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置（最小位置）
  • 用兄弟节点的元素 a（最大的元素）替代父节点的元素 b
  • 这种操作其实就是：旋转

• 如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素
  • 将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
  • 合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1
  • 这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播