AVL树问题

06_AVL树

06_AVL树

1、AVL树

平衡因子（Balance Factor）：某节点的左右子树的高度差
AVL树的特点
- 每个节点的平衡因子只可能是1、0、-1（绝对值<=1，如果超过1，称之为“失衡”）
- 每个节点的左右子树高度差不超过1
- 搜索、添加、删除的时间复杂度是O(logn)

2、平衡对比

输入数据：35,37,34,56,25,62,57,9,74,32,94,80,75,100,16,82

3、简单的继承结构

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3、AVL添加

3.1、添加导致的失衡

实例：往下面这棵子树中添加13
最坏情况：可能会导致所有祖先节点都失衡
父节点、非祖先节点，都不可能失衡

比如下图所示：

在这个树中添加元素13，那么会使父节点14失衡，祖父节点15和9都会失衡

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3.1.1、LL—右旋转（单旋）

如下图所示：

我们在T0这个节点处添加一个节点的话，就会使g这个祖父节点失衡，由于n这个节点是g节点的左节点的左节点，即n = g.left.left，所以为LL，如果我们要使它变为一棵平衡二叉树，我们就需要将g节点向右旋转，使他变为p节点的子节点

也就是我们要做的操作就是：

- g.left = p.right
- p.right = g

然后我们要使p节点作为这个子树的根节点

同时我们还需要注意的是：我们还必须维护T2、p、g的parent属性，然后更新g,p的高度

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3.1.2、RR—左旋转（单旋）

如下图所示：

我们要在T3节点处插入一个节点，那么就会导致祖父节点g失衡，由于n节点是祖父节点的右节点的右节点，也即n = g.right.right，所以为RR。我们要解决这个问题，只需要将这个树的g节点进行左旋就可以。

操作如下：

- g.right = p.right
- p.left = g

让p成为这棵子树的根节点

同时我们还需要注意的是：我们还得维护T1,p,g的parent属性，同时得先后更新g,p的高度。

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3.1.3、LR—RR左旋转，LL右旋转（双旋）

如下图所示：

我们要在T2节点处添加新的节点，那么同样会导致g节点失衡，由于n = g.left.right,所以为LR，解决这种问题我们只要先对p节点进行左旋，然后对g节点进行右旋就可以解决问题

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3.1.4、RL—LL右旋转，RR左旋转（双旋）

如下图所示：

我们要在T1节点处添加新的节点，那么同样会导致g节点失衡，由于n = g.right.left,所以为RL，解决这种问题我们只要先对p节点进行右旋，然后对g节点进行左旋就可以解决问题

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如下即为左旋的代码：

/**
 * 左旋转
*/
private void rotateLeft(Node<E> grand){
	Node<E> parent = grand.right;
	Node<E> child = parent.left;
	grand.right = child;
    parent.left = grand;
	
	// 让parent成为子树的根节点
	parent.parent = grand.parent;
	if(grand.isLeftChild()){
		grand.parent.left = parent;
	}else if (grand.isRightChild()){
		grand.parent.right = parent;
	}else{// grand是root节点
		root = parent;
	}
			
	// 更新child的parent
	if(child != null){
		child.parent = grand;
	}
			
	// 更新grand的parent
	grand.parent = parent;
			
	// 更新高度
	updateHeight(grand);
	updateHeight(parent);
}

这里面的更新操作的代码其实很简单，只需要

public void updateHeight(){ // 更新高度
	int leftHeight = left==null ? 0 : ((AVLNode<E>)left).height;
	int rightHeight = right==null ? 0 : ((AVLNode<E>)right).height;
	height = 1 + Math.max(leftHeight, rightHeight);
}

同样的其实右旋转也很简单：

/**
 * 右旋转
*/
private void rotateLeft(Node<E> grand){
	Node<E> parent = grand.left;
	Node<E> child = parent.right;
	grand.left = child;
	parent.right = grand;
	
	// 让parent成为子树的根节点
	parent.parent = grand.parent;
	if(grand.isLeftChild()){
		grand.parent.left = parent;
	}else if (grand.isRightChild()){
		grand.parent.right = parent;
	}else{// grand是root节点
		root = parent;
	}
			
	// 更新child的parent
	if(child != null){
		child.parent = grand;
	}
			
	// 更新grand的parent
	grand.parent = parent;
			
	// 更新高度
	updateHeight(grand);
	updateHeight(parent);
}