Luogu P4158 [SCOI2009]粉刷匠(dp+背包)
题意
题目描述
\(windy\)有\(N\)条木板需要被粉刷。每条木板被分为\(M\)个格子。 每个格子要被刷成红色或蓝色。
\(windy\)每次粉刷，只能选择一条木板上一段连续的格子，然后涂上一种颜色。 每个格子最多只能被粉刷一次。
如果\(windy\)只能粉刷\(T\)次，他最多能正确粉刷多少格子？
一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色，就算错误粉刷。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数，\(N\ M\ T\)。
接下来有\(N\)行，每行一个长度为\(M\)的字符串，\(0\)表示红色，\(1\)表示蓝色。
输出格式：
包含一个整数，最多能正确粉刷的格子数。
输入输出样例
输入样例#1：
3 6 3
111111
000000
001100
输出样例#1：
16
说明
\(30\%\)的数据，满足\(1\leq N,M\leq 10,0\leq T\leq 100\)。
\(100\%\)的数据，满足\(1\leq N,M\leq 50,0\leq T\leq 2500\)。
思路
如果我们能计算出第\(i\)行涂了\(j\)次的最少错误颜色数，这题不就可以直接背包了吗？
求出这个东西，其实也是要\(dp\)的。设\(f[i][j][k][w]\)为第\(i\)行第\(j\)列, 涂了\(k\)次, 最后一块涂的颜色为\(w\)时这一行的最少错误颜色数。\(w=0\)表示没有涂色，\(w=1\)表示涂了红色，\(w=2\)表示涂了蓝色。那么就有：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][1][0][0]=f[i][1][1][1]=f[i][1][1][2]=1;
if(ch[i][1]=='0') f[i][1][1][1]=0;
else f[i][1][1][2]=0;
for(int j=2;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=j;k++)
{
f[i][j][k][0]=min(f[i][j-1][k][0],min(f[i][j-1][k][1],f[i][j-1][k][2]))+1;
if(ch[i][j]=='0') f[i][j][k][1]=f[i][j-1][k][1],f[i][j][k][2]=f[i][j-1][k][2]+1;
else f[i][j][k][2]=f[i][j-1][k][2],f[i][j][k][1]=f[i][j-1][k][1]+1;
if(k>0)
{
if(ch[i][j]=='0')
{
f[i][j][k][1]=min(f[i][j][k][1],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2]));
f[i][j][k][2]=min(f[i][j][k][2],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2])+1);
}
else
{
f[i][j][k][2]=min(f[i][j][k][2],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2]));
f[i][j][k][1]=min(f[i][j][k][1],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2])+1);
}
}
}
然后背包就好啦。背包的代码见下面。
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,t,f[55][55][55][3],g[55][55],dp[55][2505];
///0:NULL, 1:RED(0), 2:BLUE(1)
///f[i][j][k][w]: 第i行第j列, 涂了k次, 最后一块为w
char ch[55][55];
int main()
{
cin>>n>>m>>t;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>ch[i][j];
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][1][0][0]=f[i][1][1][1]=f[i][1][1][2]=1;
if(ch[i][1]=='0') f[i][1][1][1]=0;
else f[i][1][1][2]=0;
for(int j=2;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=j;k++)
{
f[i][j][k][0]=min(f[i][j-1][k][0],min(f[i][j-1][k][1],f[i][j-1][k][2]))+1;
if(ch[i][j]=='0') f[i][j][k][1]=f[i][j-1][k][1],f[i][j][k][2]=f[i][j-1][k][2]+1;
else f[i][j][k][2]=f[i][j-1][k][2],f[i][j][k][1]=f[i][j-1][k][1]+1;
if(k>0)
{
if(ch[i][j]=='0')
{
f[i][j][k][1]=min(f[i][j][k][1],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2]));
f[i][j][k][2]=min(f[i][j][k][2],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2])+1);
}
else
{
f[i][j][k][2]=min(f[i][j][k][2],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2]));
f[i][j][k][1]=min(f[i][j][k][1],min(min(f[i][j-1][k-1][0],f[i][j-1][k-1][1]),f[i][j-1][k-1][2])+1);
}
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
g[i][j]=min(f[i][m][j][0],min(f[i][m][j][1],f[i][m][j][2]));
memset(dp,0x3f,sizeof dp);
dp[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=t;j>=0;j--)
for(int k=0;k<=min(j,m);k++)
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-k]+g[i][k]);
printf("%d",n*m-dp[n][t]);
return 0;
}
