Luogu P3825 [NOI2017]游戏(2-SAT)
题意
题目背景
狂野飙车是小\(L\)最喜欢的游戏。与其他业余玩家不同的是，小\(L\)在玩游戏之余，还精于研究游戏的设计，因此他有着与众不同的游戏策略。
题目描述
小\(L\)计划进行\(n\)场游戏，每场游戏使用一张地图，小\(L\)会选择一辆车在该地图上完成游戏。
小\(L\)的赛车有三辆，分别用大写字母\(A,B,C\)表示。地图一共有四种，分别用小写字母\(x,a,b,c\)表示。其中，赛车\(A\)不适合在地图\(a\)上使用，赛车\(B\)不适合在地图\(b\)上使用，赛车\(C\)不适合在地图\(c\)上使用，而地图\(x\)则适合所有赛车参加。适合所有赛车参加的地图并不多见，最多只会有\(d\)张。
\(n\)场游戏的地图可以用一个小写字母组成的字符串描述。例如：\(S=xaabxcbc\)表示小\(L\)计划进行\(8\)场游戏，其中第\(1\)场和第\(5\)场的地图类型是\(x\)，适合所有赛车，第\(2\)场和第\(3\)场的地图是a，不适合赛车\(A\)，第\(4\)场和第\(7\)场的地图是\(b\)，不适合赛车\(B\)，第\(6\)场和第\(8\)场的地图是\(c\)，不适合赛车\(C\)。
小\(L\)对游戏有一些特殊的要求，这些要求可以用四元组\((i,h_i,j,h_j)\)来描述，表示若在第\(i\)场使用型号为\(h_i\)的车子，则第\(j\)场游戏要使用型号为\(h_j\)的车子。
你能帮小\(L\)选择每场游戏使用的赛车吗？如果有多种方案，输出任意一种方案。如果无解，输出"-1"（不含双引号）。
输入输出格式
输入格式：
输入第一行包含两个非负整数\(n,d\)。
输入第二行为一个字符串\(S\)。\(n,d,S\)的含义见题目描述，其中\(S\)包含\(n\)个字符，且其中恰好\(d\)个为小写字母\(x\)。
输入第三行为一个正整数\(m\)，表示有\(m\)条用车规则。接下来\(m\)行，每行包含一个四元组\(i,h_i,j,h_j\)，其中\(i,j\)为整数，\(h_i,h_j\)为字符\(a,b\)或\(c\)，含义见题目描述。
输出格式：
输出一行。
若无解输出"-1"（不含双引号）。
若有解，则包含一个长度为\(n\)的仅包含大写字母\(A,B,C\)的字符串，表示小\(L\)在这\(n\)场游戏中如何安排赛车的使用。如果存在多组解，输出其中任意一组即可。
因为\(spacial\ judge\)，最后一行不要输出回车。
输入输出样例
输入样例#1：
3 1
xcc
1
1 A 2 B
输出样例#1：
ABA
说明
【样例1解释】
小\(L\)计划进行\(3\)场游戏，其中第\(1\)场的地图类型是\(x\)，适合所有赛车，第\(2\)场和第\(3\)场的地图是\(c\)，不适合赛车\(C\)。
小\(L\)希望：若第\(1\)场游戏使用赛车\(A\)，则第\(2\)场游戏使用赛车\(B\)。那么为这\(3\)场游戏分别安排赛车\(A,B,A\)可以满足所有条件。若依次为\(3\)场游戏安排赛车为\(BBB\)或\(BAA\)时，也可以满足所有条件，也被视为正确答案。但依次安排赛车为\(AAB\)或\(ABC\)时，因为不能满足所有条件，所以不被视为正确答案。
思路
这道水题怎么还是黑的？ --huyufeifei
调了一晚上这道题，真的毒瘤。
我们先不考虑\(x\)地图，那么剩余的地图每种只有两辆赛车可跑。再根据题目给的约束条件，我们就可以用\(2-SAT\)来解决这个问题。
那么带上\(x\)地图怎么办呢？既然\(d\)很小，那我们就暴力枚举！把\(x\)地图强行换成\(a,b,c\)中的一张，再来判断是否可行。最终复杂度为\(O(3^dm)\)，显然很爆炸。考虑到如果我们只枚举\(a,b\)，其实就可以覆盖\(x\)地图可以使用\(A,B,C\)三种赛车的条件，那就不枚举\(c\)好了。最终时间复杂度\(O(2^dm)\)。
我在做这题时出现了很多问题，调试了很久，枚举如下：
- 因为每张地图对应的赛车不同，所以不同地图在\(2-SAT\)中的两个取值完全不同，要注意区分。
- 建边时要建两条边。对于如果\(a\)那么\(b\)这个条件，不能只建边\((a,b)\)，还要建边\((b+n,a+n)\)（想一想为什么）。
- 暴力枚举不要打挂（没错，我因为打挂了暴力调了好久）。
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MAXN=2e5+5,MAXM=4e5+5;
LL n,d,m,tot,js,dfn[MAXN],low[MAXN],bel[MAXN];
LL x[MAXM],y[MAXM];
LL cnt,top[MAXN],to[MAXM],nex[MAXM];
string str;
char xx[MAXM],yy[MAXM];
bool vis[MAXN];
stack<LL>S;
LL read()
{
bool f=true;LL re=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=false;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return f?re:-re;
}
void add_edge(LL x,LL y){to[++cnt]=y,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;}
char fst(char y)
{
if(y=='A') return 'B';
else if(y=='B') return 'C';
else if(y=='C') return 'A';
}
char scd(char y)
{
if(y=='A') return 'C';
else if(y=='B') return 'A';
else if(y=='C') return 'B';
}
void tarjan(LL now)
{
dfn[now]=low[now]=++tot,vis[now]=true,S.push(now);
for(LL i=top[now];i;i=nex[i])
if(!dfn[to[i]]) tarjan(to[i]),low[now]=min(low[now],low[to[i]]);
else if(vis[to[i]]) low[now]=min(low[now],dfn[to[i]]);
if(dfn[now]==low[now])
{
bel[now]=++js,vis[now]=false;
while(S.top()!=now) bel[S.top()]=js,vis[S.top()]=false,S.pop();
S.pop();
}
}
bool check()
{
cnt=tot=js=0;
memset(dfn,0,sizeof dfn);
memset(top,0,sizeof top);
for(LL i=1;i<=m;i++)
{
char f1=fst(str[x[i]]),s1=scd(str[x[i]]),f2=fst(str[y[i]]),s2=scd(str[y[i]]);
if(xx[i]==str[x[i]]) continue;
else if(yy[i]==str[y[i]])
{
if(xx[i]==f1) add_edge(x[i],x[i]+n);
else if(xx[i]==s1) add_edge(x[i]+n,x[i]);
}
else if(xx[i]==f1&&yy[i]==f2) add_edge(x[i],y[i]),add_edge(y[i]+n,x[i]+n);
else if(xx[i]==f1&&yy[i]==s2) add_edge(x[i],y[i]+n),add_edge(y[i],x[i]+n);
else if(xx[i]==s1&&yy[i]==f2) add_edge(x[i]+n,y[i]),add_edge(y[i]+n,x[i]);
else if(xx[i]==s1&&yy[i]==s2) add_edge(x[i]+n,y[i]+n),add_edge(y[i],x[i]);
}
for(LL i=1;i<=(n<<1);i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(LL i=1;i<=n;i++) if(bel[i]==bel[i+n]) return false;
for(LL i=1;i<=n;i++)
if(bel[i]<bel[i+n]) putchar(fst(str[i]));
else putchar(scd(str[i]));
return true;
}
bool dfs(LL now,LL hjj)
{
if(hjj==d)
{
if(check()) return true;
return false;
}
while(str[now]!='X') now++;
str[now]='A';
if(dfs(now+1,hjj+1)) return true;
str[now]='B';
if(dfs(now+1,hjj+1)) return true;
str[now]='X';
return false;
}
int main()
{
cin>>n>>d;
cin>>str;str=" "+str;
for(LL i=1;i<=n;i++) str[i]=toupper(str[i]);
cin>>m;
for(LL i=1;i<=m;i++) cin>>x[i]>>xx[i]>>y[i]>>yy[i];
if(!dfs(1,0)) printf("-1");
return 0;
}
