Luogu P2679 子串(字符串+dp)

P2679 子串

题意

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串\(A\)和\(B\)。

现在要从字符串\(A\)中取出\(k\)个互不重叠的非空子串，然后把这\(k\)个子串按照其在字符串\(A\)中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串\(B\)相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入输出格式

输入格式：

第一行是三个正整数\(n,m,k\)，分别表示字符串\(A\)的长度，字符串\(B\)的长度，以及问题描述中所提到的\(k\)，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为\(n\)的字符串，表示字符串\(A\)。

第三行包含一个长度为\(m\)的字符串，表示字符串\(B\)。

输出格式：

一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对\(1000000007\)取模的结果。

输入输出样例

输入样例：

6 3 1
aabaab
aab

输出样例：

2

输入样例：

6 3 2
aabaab
aab

输出样例：

7

输入样例：

6 3 3
aabaab
aab

输出样例：

7

说明

对于第\(1\)组数据:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k=1\);

对于第\(2\)组至第\(3\)组数据:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k=2\);

对于第\(4\)组至第\(5\)组数据:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k=m\);

对于第\(1\)组至第\(7\)组数据:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,1 \leq k \leq m\);

对于第\(1\)组至第\(9\)组数据:\(1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 100,1 \leq k \leq m\);

对于所有\(10\)组数据:\(1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 200,1 \leq k \leq m\)。

思路

你可以看一篇优秀的博客。 --alecli

这位神犇叫为了我这道题。

设计状态\(dp[i][j][k][0/1]\)，\(i\)表示\(A\)字符串的前\(i\)位，\(j\)表示\(B\)字符串的前\(j\)位，\(k\)表示选取了多少个子串，\(0/1\)表示当前字符有没有选入子串中。

如果该位没有选，那么转移是显然易见的：

\[dp[i][j][k][0]=dp[i-1][j-1][k][1]+dp[i-1][j-1][k][0] \]

它表示不论前一位选与不选，我都加一个空格，分开上一子串和下一子串

而如果要选这一位，就要分类讨论这一位上的\(A\)与\(B\)是否相同。

• 如果不同，那么\(dp[i][j][k][0]=0\)；
• 如果相同，那么\(dp[i][j][k][0]=dp[i-1][j-1][k][1]+dp[i-1][j-1][k-1][1]+dp[i-1][j-1][k-1][0]\)，它表示继续下一子串、在上一子串连续的情况下重新开始新一子串、直接作为新子串的开头。

那么答案就是\(dp[n][m][k][0]+dp[n][m][k][1]\)了。

顺便，我的代码怕空间不足，写了滚动数组。如果不写的话，要记得初始化\(dp\)数组的值。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL P=1000000007;
LL n,m,k,dp[2][202][202][2];
string a,b;
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    cin>>a>>b;
    a=' '+a;
    b=' '+b;
    dp[0][0][0][0]=dp[1][0][0][0]=1;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        for(LL j=1;j<=m;j++)
            for(LL p=1;p<=k;p++)
            {
                dp[i&1][j][p][0]=(dp[(i-1)&1][j][p][0]+dp[(i-1)&1][j][p][1])%P;
                if(a[i]==b[j]) dp[i&1][j][p][1]=(dp[(i-1)&1][j-1][p][1]+dp[(i-1)&1][j-1][p-1][0]+dp[(i-1)&1][j-1][p-1][1])%P;
                else dp[i&1][j][p][1]=0;
            }
    printf("%lld",(dp[n&1][m][k][1]+dp[n&1][m][k][0])%P);
    return 0;
}