关于埃式筛法的极限优化

摘自https://blog.csdn.net/qq_43332305/article/details/82959066

关于素数的普通筛法想必大家都清楚。使用一个数组vis[n],从2遍历到n-1，每次碰到素数就把它的倍数剔除。这里有三种手段可以大大降低埃式筛法的时间复杂度：
先发埃式筛法模板，假设初始化vis所有成员为0,0代表是素数，1代表不是素数：

for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            for(int j=2*i;j<=N;j+=i){
                vis[j]=1;
            }
        }
    }

 

那么首先会想到一个问题，一个合数如果有因数，那么必定是成对存在，也就是筛子只用判断其中一个因数就可以了，比如15=3*5，在3的时候已经把15给筛掉了，何必去循环到5呢？于是优化如下，循环到根号n即可。

for(int i=2;i*i<=N;i++){//将i<=N换成i*i<=N
        if(!vis[i]){
            for(int j=2*i;j<=N;j+=i){
                vis[j]=1;
            }
        }
    }

 

接下来是第二重优化。第二层循环中不是从j=2i开始，每次增加一个i，即剔除i的所有倍数吗？试想一下，6是不是被2筛过了，此时碰到素数3又要筛一遍。而j从2i到i*i，即2倍到i倍的变化，在第一层循环中，2~i-1已经把他们的素数倍数筛完，所以结论如下：
第i个数只用筛从 i 乘 i 开始到n的每个数,而不用从 2 乘 i 开始
接下来优化代码:

for(int i=2;i*i<=N;i++){//将i<=N换成i*i<=N
        if(!vis[i]){
            for(int j=i*i;j<=N;j+=i){//将2*i换成i*i
                vis[j]=1;
            }
        }
    }

 

第三重优化是一个很小的改动与优化，在第二重循环中，每次增加素数的1倍，但除了2以外素数都是奇数，那么奇数乘以偶数是偶数，偶数情况早已被2筛完，故每次增加2i倍.

for(int i=2;i*i<=N;i++){//将i<=N换成i*i<=N
        if(!vis[i]){
            int mul;//倍数
            i==2?mul=1:mul=2;
            for(int j=i*i;j<=N;j=j+i*mul){//将2*i换成i*i
                vis[j]=1;
            }
        }
    }