2015年NOIP普及组复赛题解

题目涉及算法：

• 金币：入门题；
• 扫雷游戏：入门题；
• 求和：简单数学推导；
• 推销员：贪心。

金币

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P2669
入门题，直接开一个循环遍历一下就可以了。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, ans = 0;
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; n; i ++) {
        int t = min(i, n);
        ans += i *t;
        n -= t;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

扫雷游戏

题目链接：
基础题，直接遍历一下地图（对于每个格子，统计一下周围8个格子）就可以实现地雷的统计。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;
int n, m, c[maxn][maxn];
char maze[maxn][maxn];
int dir[8][2] = { -1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 1, 0, 1, 1 };
inline bool in_map(int x, int y) { return x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m; }
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> maze[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++) for (int j = 0; j < m; j ++) {
        if (maze[i][j] == '*') for (int k = 0; k < 8; k ++) {
            int x = i + dir[k][0], y = j + dir[k][1];
            if (in_map(x, y)) c[x][y] ++;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        for (int j = 0; j < m; j ++) {
            if (maze[i][j] == '*') putchar('*');
            else cout << c[i][j];
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

求和

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P2671
这道题目是一道简单的数学推导。
首先，因为一共有m种颜色，并且我们只有具有相同奇偶性的一对数才能凑成x和z，所以我们将所有从1到n的编号划分进 \(2 \times m\) 个集合，对于编号 \(i\)：

• 如果 \(i\) 是奇数，将其归到 \(2 \times color[i]\) 集合中；
• 如果 \(i\) 是偶数，将其归到 \(2 \times color[i] - 1\) 集合中。

然后我们去遍历每一个集合。
如果该集合的元素个数是 \(sz\) ，并且我们设该集合中所有元素数值和 \(S = \sum number[i]\) ，则我们遍历集合中的每个元素 \(x\) ，并将
\((sz-1) \times x \times number[x] + x \times (S - number[x])\)
的结果加进我们的答案中。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 200020;
const long long MOD = 10007;
vector<int> vec[maxn];
int n, m, color[maxn];
long long ans, num[maxn], sum[maxn];
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> num[i];
        num[i] %= MOD;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> color[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int id = (i % 2) ? (color[i] * 2) : (color[i] * 2 - 1);
        vec[id].push_back(i);
        sum[id] = (sum[id] + num[i]) % MOD;
    }
    for (int i = 1; i <= 2*m; i ++) {
        int sz = vec[i].size();
        if (sz <= 1) continue;
        for (int j = 0; j < sz; j ++) {
            int v = vec[i][j];
            long long tmp = (long long)(sz-1) * (long long)v * (long long) num[v] % MOD;
            tmp += (long long) v * (sum[i] - num[v] + MOD) % MOD;
            ans = (ans + tmp) % MOD;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

推销员

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P2672
这道题目是贪心，贪心的思想是：
选择 \(m\) 户人家的最大疲劳值应该是以下两种方案中的较大值：

• 方案一：选择 \(a[i]\) 最大的 \(m\) 户人家；
• 方案二：选择 \(a[i]\) 最大的 \(m-1\) 户人家，以及剩下的 \(n-(m-1)\) 户人家中 \(2 \times s[i] + a[i]\) 最大的那户人家

所以，我们可以给 \(n\) 户人家按照 \(a[i]\) 从大到小金星排序。
然后在开三个数组（这3个数组用到了DP来进行求解）：

• suma[i] ：表示 \(\sum_{j=1}^{i}a[j] + 2 \times \max_{j=1}^{i}(s[j])\) ，推导公式： suma[i] = suma[i-1] + a[i]
• maxs[i] ：表示 \(\max_{j=1}^{i} s[j]\) ，推导公式： maxs[i] = maxs[i-1] + s[i]
• maxsa[i] ：表示 \(\max_{j=i}^{n} (2 \times s[j] + a[j])\) ，推导公式：maxsa[i] = max(maxsa[i+1], 2 \times s[i] + a[i])

然后我们要在 \(n\) 户人家里面选择 \(m\) 户人家访问的最大疲劳值就是 sum[m] + 2 * maxs[m] 和 suma[m-1] + 2 * maxs[i] 的较大值。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100100;
int n, s[maxn], a[maxn], idx[maxn], suma[maxn], maxs[maxn], maxsa[maxn];
bool cmp(int i, int j) {
    return a[i] > a[j];
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) idx[i] = i;
    sort(idx+1, idx+1+n, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        suma[i] = suma[i-1] + a[idx[i]], maxs[i] = max(maxs[i-1], s[idx[i]]);
    for (int i = n; i >= 1; i --)
        maxsa[i] = max(maxsa[i+1], s[idx[i]] * 2 + a[idx[i]]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cout << max(suma[i]+2*maxs[i], suma[i-1]+maxsa[i]) << endl;
    return 0;
}

作者：zifeiy