一、行列式
概念
行列式是行数和列数相等的数字阵列，本质是一个数。
n阶行列式
&完全展开式
是所有取自n阶行列式不同行不同列的n个元素的乘积之和
逆序数
从左到右依次选定数，选定数后面的一个数比选定数小则算作一个逆序，一个排列的逆序总数称为逆序数
偶排列
逆序数为偶数的排列
行列式性质
- 行列式运算性质
- 行列式转置，行列式值不变
- 两行（或列）互换位置，行列式值变号
- 某行（或列）有公因子k，可把k提出行列式记号外
- 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和
- 把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式值不变
- 行列式等0性质
- 两行（或列）相同
- 某一行（或列）元素全为0
- 两行（或列）元素对应成比例
行列式按行展开
n阶行列式的值等于任意一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和
异乘变零定理
行列式的任一行（列）元素与令一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为0
余子式
选定某一元素aij，划去该元素所在的行和列，余下的部分相对位置不变，组成的行列式称为余子式。记作Mij
代数余子式
余子式乘上(-1)的i+j次方得到aij的代数余子式，记作Aij
行列式求值
上（下）三角行列式
主对角线元素的乘积
上(下)倒三角行列式
(-1)的n(n-1)/2次方 乘 副对角线元素乘积(n为行列式阶数)
&拉普拉斯展开定理
选定k行，选定k列组成的k阶子式 与 余子式（除去所在行、所在列剩下相对位置不变的行列式） 相乘，乘以(-1)的 选定k阶子式所在行、所在列的行标和列标之和次方
&两个特殊的拉普拉斯展开式
|A *| |A 0|
= =|A|乘|B|，
|0 B| |* B|
|* A| |0 A|
= =|A|乘|B|乘(-1)的m乘n次方(A为m阶、B为n阶行列式)
|B 0| |B *|
范德蒙德行列式公式
|1 1 ... 1|
|x1 x2 ... xn|
|x1^2 x2^2 ... xn^2| = TT(xi - xj)
|... ... ... ...|
|x1^n-1 x2^n-1 ... x3^n-1|
例：
令xj = 2;xi = -1，3；令xj = -1;xi = 3
|1 1 1|
|2 -1 3| = (-1-2)(3-2)(3-(-1))
|.. .. ..|
&克莱姆法则
适用于n个方程，n个未知量的方程组，|A|为系数行列式
推论
-
对于非齐次方程组:
- 系数行列式|A| != 0
- xi = |Ai|/|A|（i=1,2,..n），|Ai|是第i列元素替换成方程组右端常数项构成的行列式
- 系数行列式|A| != 0，则方程组有唯一解
-
对于齐次方程组:
- 系数行列式|A| != 0的充要条件是 方程组有唯一零解。若有非零解，充要条件是系数行列式|A|=0
