【矩阵论】求和空间与交空间的基和维数

步骤：

① 把两个空间的基拼成一个矩阵

② 把该矩阵化为行最简

③ 从行最简矩阵中读出极大线性无关组，此为和空间的基，极大线性无关组的向量个数为和空间的维数

④ 设交空间的向量为x，x能同时被两个空间的基线性表示，列出方程组，解，基础解系即为交空间的基，基础解系个数为交空间维数

【例】

$R^4$ 中的两个子空间是

$$W_1=span\{a_1=[1,1,0,0{]}^T,a_2=[0,1,1,0{]}^T\}$$

$$W_2=span\{a_3=[0,0,1,1{]}^T,a_4=[1,0,0,1{]}^T\}$$

求 $W_1+W_2$ 及 $W_1\cap W_2$ 的基和维数。

解：

$$W_1+W_2=span\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$$

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

则可知 $a_4=a_1-a_2+a_3$ ，$a_1,a_2,a_3$ 线性无关

故 $a_1,a_2,a_3$ 为 $W_1+W_2$ 的基， $dim(W_1+W_2)=3$

（如果由定理 $dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim{W}_1+dim{W}_2$ 可以直接得到交空间的维度）

设 $\xi$ 为 $W_1\cap W_2$ 空间的向量，则有

$$\begin{array}{rl}& \xi =k_1{a}_1+k_2{a}_2,\xi =k_3{a}_4+k_4{a}_4\\ \Rightarrow & k_1{a}_1+k_2{a}_2=k_3{a}_3+k_4{a}_4\\ \Rightarrow & k_1{a}_1+k_2{a}_2-k_3{a}_3-k_4{a}_4=0\end{array}$$

用矩阵表示则为

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ k_3\\ k_4\end{array}\right)=0$$

解得

$${\left(\begin{array}{cccc}{k}_1& k_2& k_3& k_4\end{array}\right)}^T=c\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& 1\end{array}\right),c\ne 0$$

则

$$\xi =c(a_1-a_2)=c(1,0,-1,0{)}^T$$

故 $W_1\cap W_2=span\{[-1,0,1,0{]}^T\}$ ，即 $[-1,0,1,0{]}^T$ 是 $W_1\cap W_2$ 的一个基