【矩阵论】求和空间与交空间的基和维数
步骤：
① 把两个空间的基拼成一个矩阵
② 把该矩阵化为行最简
③ 从行最简矩阵中读出极大线性无关组，此为和空间的基，极大线性无关组的向量个数为和空间的维数
④ 设交空间的向量为x，x能同时被两个空间的基线性表示，列出方程组，解，基础解系即为交空间的基，基础解系个数为交空间维数
【例】
\(R^4\) 中的两个子空间是
\[W_1 = span \left \{ a_1 = [1,1,0,0]^T, a_2 = [0,1,1,0]^T \right \}
\]
\[W_2 = span \left \{ a_3 = [0,0,1,1]^T, a_4 = [1,0,0,1]^T \right \}
\]
求 \(W_1+W_2\) 及 \(W_1\cap W_2\) 的基和维数。
解：
\[W_1+W_2 = span \left \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \right \}
\]
\[\begin{pmatrix} a_1& a_2 &a_3 &a_4 \\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 0 &0 &1\\ 1& 1 &0 &0\\ 0& 1 &1 &0\\ 0& 0 &1&1\\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1& 0 &0 &1\\ 0& 1 &0 &-1\\ 0& 0&1 &1\\ 0& 0 &0&0\\ \end{pmatrix}
\]
则可知 \(a_4 = a_1-a_2+a_3\) ，\(a_1, a_2, a_3\) 线性无关
故 \(a_1, a_2, a_3\) 为 \(W_1+W_2\) 的基， \(dim(W_1+W_2) = 3\)
（如果由定理 \(dim(W_1 + W_2) + dim(W_1\cap W_2) = dimW_1+dimW_2\) 可以直接得到交空间的维度）
设 \(\xi\) 为 \(W_1\cap W_2\) 空间的向量，则有
\[\begin{align}
&\xi = k_1 a_1 + k_2 a_2, \ \xi = k_3 a_4 + k_4 a_4 \nonumber \\
\Rightarrow \quad & k_1a_1+k_2a_2 = k_3 a_3 + k_4a_4 \nonumber \\
\Rightarrow \quad & k_1a_1+k_2a_2 - k_3 a_3 - k_4a_4 = 0 \nonumber
\end{align}
\]
用矩阵表示则为
\[\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & -1\\ 1 &1 & 0 & 0\\ 0 & 1& -1 &0 \\ 0 & 0 & -1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{pmatrix} = 0
\]
解得
\[\begin{pmatrix} k_1 & k_2 & k_3 & k_4 \end{pmatrix}^T =c\begin{pmatrix} 1 &-1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ c\neq 0
\]
则
\[\xi = c(a_1-a_2)= c(1 , 0, -1, 0)^T
\]
故 \(W_1\cap W_2 = span\left \{ [-1, 0, 1, 0]^T \right \}\) ，即 \([-1, 0, 1, 0]^T\) 是 \(W_1\cap W_2\) 的一个基
