【矩阵论】基变换与坐标变换

理论

① 从基B1变换到B2，变换矩阵记为P，则有

$$B_{1}P=B_2$$

② 某向量在基B1下的坐标为x，B2下的坐标为y，则有

$$B_{1}x=B_{2}y$$

③由上面两式子可知

$$\begin{array}{rl}& B_{1}x=B_{2}y=B_{1}Py\\ & \Rightarrow x=Py\end{array}$$

上式即为坐标变换公式

【例1】

已知 $R^3$ 的两个基是

$$B_1=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right),B_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

求由B1到B2的变换矩阵P

由 $B_{1}P=B_2$ 可得

$$P=B_1^{-1}{B}_2=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ -1& -1& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$$

【例2】

在 $P_2(t)$ 中分别取基 $B_1=\{1,t,t^2\}$ ，$B_2=\{t+1,t+2,t^2\}$

1. 求由 $B_1$ 到 $B_2$ 的变换矩阵 $T$？

2) 多项式 $P(t)=2t^2-t+1$ 在两组基下的坐标分别是啥？

把 $B_1,B2$ 分别写成矩阵形式为

$$B_1=\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 1& \\ & & 1\end{array}\right),B_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& \\ 1& 1& \\ & & 1\end{array}\right)$$

由 $B_{1}P=B_2$ 可得

$$P=B_1^{-1}{B}_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& \\ 1& 1& \\ & & 1\end{array}\right)$$

多项式 $P(t)=2t^2-t+1$ 在 $B_1$ 下的坐标为 $x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ ，因为

由 $x=Py$ 可得

$$y=P^{-1}x$$

计算可得 $y=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

【例3】

已知 $R^3$ 的两个基

$$B_1=\{e_1=[1,0,0{]}^T,e_2=[0,1,0{]}^T,e_3=[0,0,1{]}^T\}$$

$$B_2=\{[-2,-7,1{]}^T,[3,6,1{]}^T,[-1,-3,2{]}^T\}$$

求在这两个基下有相同坐标的所有向量。

设 $x=[x_1,x_2,x_3{]}^T$ 是所求向量在 $B_1$ 下的坐标

由题意可知，x满足

$$x=Px\mathrm{①}$$

其中P为B1到B2的变换矩阵，其值为

$$P=B_1^{-1}{B}_2=\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& -1\\ -7& 6& -3\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

则①式为

$$\begin{array}{rl}& x=\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& -1\\ -7& 6& -3\\ 1& 1& 2\end{array}\right)x\\ \Rightarrow & \left(\begin{array}{ccc}-3& 3& -1\\ -7& 5& -3\\ 1& 1& 1\end{array}\right)x=0\end{array}$$

解得 $x=k[2,1,-3{]}^T$