【矩阵论】基变换与坐标变换
理论
① 从基B1变换到B2，变换矩阵记为P，则有
\[B_1P =B_2
\]
② 某向量在基B1下的坐标为x，B2下的坐标为y，则有
\[B_1x =B_2 y
\]
③由上面两式子可知
\[\begin{align}
&B_1x = B_2y=B_1Py \nonumber \\
&\Rightarrow x = Py \nonumber
\end{align}
\]
上式即为坐标变换公式
【例1】
已知 \(R^3\) 的两个基是
\[B_1= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}, B_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}
\]
求由B1到B2的变换矩阵P
由 \(B_1P=B_2\) 可得
\[P = B_1^{-1} B_2 = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -1\\ -1& -1 & 0\\ 2& 1&2 \end{pmatrix}
\]
【例2】
在 \(P_2(t)\) 中分别取基 \(B_1=\left \{ 1,t,t^2 \right \}\) ，\(B_2=\left \{ t+1,t+2,t^2 \right \}\)
- 求由 \(B_1\) 到 \(B_2\) 的变换矩阵 \(T\)？
2) 多项式 \(P(t)=2t^2-t+1\) 在两组基下的坐标分别是啥？
把 \(B_1, B2\) 分别写成矩阵形式为
\[B_1=\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}, B_2=\begin{pmatrix} 1 &2 & \\ 1& 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}
\]
由 \(B_1P=B_2\) 可得
\[P = B_1^{-1} B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \\ 1& 1 & \\ & &1 \end{pmatrix}
\]
多项式 \(P(t)=2t^2-t+1\) 在 \(B_1\) 下的坐标为 \(x= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}\) ，因为
由 \(x = Py\) 可得
\[y = P^{-1}x
\]
计算可得 \(y = \begin{pmatrix} -3\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\)
【例3】
已知 \(R^3\) 的两个基
\[B_1 = \left \{ e_1 = [1, 0, 0]^T, e_2 = [0, 1, 0]^T,e_3 = [0, 0,1]^T \right \}
\]
\[B_2 = \left \{[-2, -7, 1]^T, [3, 6,1]^T, [-1, -3, 2]^T \right \}
\]
求在这两个基下有相同坐标的所有向量。
设 \(x = [x_1, x_2, x_3]^T\) 是所求向量在 \(B_1\) 下的坐标
由题意可知，x满足
$$x = Px \quad ①$$
其中P为B1到B2的变换矩阵，其值为
\[P = B_1^{-1}B_2=\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ -7 & 6 & -3\\ 1&1&2 \end{pmatrix}
\]
则①式为
\[\begin{align}
&x = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ -7 & 6 & -3\\ 1&1&2 \end{pmatrix}x \nonumber \\
\Rightarrow &\begin{pmatrix} -3 & 3 & -1 \\ -7 & 5 & -3\\ 1&1&1\end{pmatrix}x=0 \nonumber
\end{align}
\]
解得 \(x = k[2, 1, -3]^T\)
