【数值分析】向量和矩阵的范数

向量范数

1. 一范数： $||x|{|}_1=|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$
2. 二范数： $||x|{|}_2=\sqrt{|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}$
3. p范数： $||x|{|}_p=\sqrt[p]{|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p},p\in [1,\mathrm{\infty })$
4. $\mathrm{\infty }$ 范数： $||x|{|}_p=\underset{1\le i\le n}{max}|x_i|$

矩阵范数

1. 列范数：

$$||A|{|}_1=\underset{1\le j\le n}{max}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$$

即对矩阵的每个列向量的元素做绝对值求和，然后取和最大的那列的值
例如，对于矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

其列范数为max{1+3,2+4}，即为6

2. 行范数：

$$||A|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{max}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$$

即对矩阵的每个行向量的元素做绝对值求和，然后取和最大的那行的值

3. 二范数：

$$||A|{|}_2=\sqrt{\mathrm{矩}\mathrm{阵}{A}^{T}A\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{值}}$$

谱半径

$$\rho (A)=\underset{1\le i\le n}{max}|{\lambda }_i|$$

其中 ${\lambda }_i$ 为矩阵的特征值

定理：对于任何n阶方阵A，以及任意矩阵范数 $||\cdot ||$ ，都有 $\rho (A)\le ||A||$ 。