【数值分析】第4章-数值积分
第4章-数值积分
- 基本思想: $ \int_a^b{f(x)dx} = (b-a)f( \xi ) $,找到 $ f(\xi) $
\(f(\xi)\)(在函数图中为平均高度)的近似值有以下求法:
$ \frac{1}{2}[f(a)+f(b)] $ —— 梯形公式
$ f(\frac{a+b}{2}) $ —— 中矩公式
$ \frac{1}{6}[f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)] $ —— 辛普森公式
代数精度:
参考视频:数值分析13-数值积分:代数精度(例题)
机械求积法:一般用[a, b]内若干节点$ x_k $ 的高度 $ f(x_k) $ 通过加权平均的方式近似得出平均高度,这类求积公式的一般形式为:
\(x_k\):求积节点; \(A_k\):求积系数;
插值型数值积分
用插值函数代替被积函数求积分
又
\[L_n(x) = \sum_{i=0}^n l_i(x)f(x_i) \](参考Lagrange多项式)
式子两边积分得
\[\int_a^b{f(x)dx} = \sum_{i=0}^n \int_a^b l_i(x)f(x_i)dx \]再和机械求积公式 \(\int_a^b{f(x)dx} \approx \sum_{k=0}^{n}A_k f(x_k)\)对比一下
可得\[A_k = \int_a^b l_k(x)dx \](其实可能没什么必要,但ppt这么写了,就记一下吧)
[LOG: 23-10-30]
反转了,这个系数的存在好像是为了Newton-Cotes公式做铺垫的
4.2 Newton-Cotes公式
其中
\[C_k^{(n)} = \frac{(-1)^{n-k}}{n \ k! \ (n-k)!}\int_{0}^{n} \prod_{j = 0 \atop j \ne k}^{j=N}(t-j) dt \]\(C_k^{(n)}\) 称为Cotes系数;n表示数值积分的节点数。
(以下为推导):
在插值型数值积分的基础上,如果数值点是等距离分布的。即:
区间分成\(n\) 份,每份长度为\(h\) 。
令\(x = a + th\) 有:
令
4.3 复化求积
复化梯形公式
基本思想就是把积分区间分成n个小区间,每个小区间都用梯形公式求积。
参考视频:数值分析17-数值积分:复化梯形公式及余项(例题)
余项:
其中\(h\)为每个小区间的长度
但是这个公式应该是积分区间n等分的公式,下面的复化辛普森公式也是
复化辛普森公式
基本思想就是把积分区间分成n个小区间,每个小区间都用辛普森公式求积。
余项:
4.3 高斯型积分
n+1个节点的插值型求积公式至少可达到n次代数精度,至多只能达到2n+1次代数精度(Gauss)。
高斯-勒让德求积公式
在[-1, 1]区间内,以勒让德多项式零点为求积节点的Gauss型积分。
高斯-切比雪夫求积公式
【附录】
梯形公式
余项
代数精度:1
辛普森公式
余项
代数精度:3