【算法笔记】动态规划Dynamic Programming
参考视频：5 Simple Steps for Solving Dynamic Programming Problems
引子：最长递增子串（Longest Increasing Subsequence，LIS）
LIS([3 1 8 2 5]) = len([1 2 5]) = 3
LIS([5 2 8 6 3 6 9 5]) = len([2 3 6 9]) = 4
解决问题的三个步骤：
- 可视化例子（visualize example）
（“visualize example”应该是用数据结构表示问题的意思）
使用有向无环图作为工具（directed acyclic graph）
比如[3 1 8 2 5]的LIS的有向无环图就是1->2->5
求LIS的长度就是求有向无环图的最长路径+1
即：LIS = Longest Path in DAG + 1
假如A=[5 2 8 6 3 6 9 5]，要求LIS[5]，怎么办？
LIS[5] = 1 + max
- 找到问题的子问题（find a appropriate sub-problem）
所有递增子串是原序列的子集；所有递增子串都有头和尾，并且无论头还是尾节点都在原序列中；
因此可以改变头或者尾来得到一个子问题，这里选择尾节点，即：
LIS[k] = LIS ending at index k例如对于[3 1 8 2 5]，LIS[3] = 2，因为以index=3（即2）的节点为结尾，能找到的LIS就是[1 2]，故长度为3。
- 找到各个子问题之间的关系
首先思考，在[3 1 8 2 5]中，LIS[4]和之前的子串的关系是什么？
答案是：以index=4为结尾的LIS的前一个节点，有可能是index=0,1,3三种情况（3->5，1->5，1->2->5）
故而要求最长的长度，就是在所有可能的情况中，选出一种最长的再加1，即LIS[4] = max{LIS[0], LIS[1], LIS[3]} + 1
若A=[5 2 8 6 3 6 9 5]，求LIS[5]：
LIS[5] = 1 + max{LIS[k] | k < 5, A[k] < A[5] }
把解决方法规范一下就是
LIS[n] = 1 + max{LIS[k] | k < 5, A[k] < A[n] };
到了这里，问题基本解决了，不过还有个问题是，我们只记录了长度，如何知道具体的子串到底是什么？
答案是：可以在第3步时，记录下前一个点的位置。
