【数值分析】第7章-非线性方程求根

第7章-非线性方程求根

不动点：对于$f(x)$，若存在$a$使得$f(a)=a$，则称 $x=a$为$f(x)$的不动点。

参考链接：§1.2.6 不动点

7.2 简单迭代法（Jacobi迭代）

$$f(x)=0⟺x=\varphi (x)$$

利用$x_{k+1}=\varphi (x_k)$迭代求解不动点，即得方程的根。

【例】求$f(x)=x^3-x-1=0$，在 $x=1.5$ 附近的根。

$$x^3-x-1=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{x+1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{值}\\ x_{k+1}=\sqrt[3]{x_k+1},k=0,1,2,\dots \end{array}$$

计算：
$x_0=1.5$
$x_1=\sqrt[3]{x_0+1}=\sqrt[3]{1.5+1}=1.35721$
$x_2=\sqrt[3]{x_1+1}=1.33086$
$\dots$
$x_6=1.32473$
$x_7=1.32472$
$x_8=1.32472$

$$x^{\ast }\approx 1.32472\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{根}$$

迭代收敛判定：

对于方程 $x=\varphi (x),\varphi (x)\in C[a,b]$ ，若

（1）当$x\in [a,b]$ 时，$\varphi (x)\in [a,b]$
（2）$\mathrm{\exists }0\le L<1$，使得$|{\varphi }^{\prime }(x)|\le L<1$ 对 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ 成立。

则任取$x_0\in [a,b]$ ，由 $x_{k+1}=\varphi (x_k)$ 得到的序列${\left\{x\right\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ 收敛于 $\varphi (x)$ 在 $[a,b]$ 上的唯一不动点。

并且有误差估计：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{①}|x^{\ast }-x_k|\le \frac{1}{1-L}|x_{k+1}-x_k|\\ & \mathrm{②}|x^{\ast }-x_k|\le \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|,(k=1,2,\dots )\end{array}$$

且存在极限 $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{\ast }-x_{k+1}}{x^{\ast }-x_k}={\varphi }^{\prime }(x^{\ast })$

上面的判定是不动点存在的充分条件