【数值分析】第2章-插值

第2章-插值

插值多项式的存在唯一性：对于$(x_i,y_i),i=0..n$，次数不大于n的插值多项式是唯一的。

2.1 拉格朗日插值

Lagrange多项式

条件：无重合节点，即$i\ne j,x_i\ne x_j$

$$L_n(x)=\sum _{i=0}^n{l}_i(x)y_i$$

$$\begin{gathered} \mathrm{其}\mathrm{中} \\ {l}_i(x)=\prod _{j\ne i,j=0}^n\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)} \end{gathered}$$

插值余项 $R_n$（截断误差）

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)$$

定理：设$f^{(n)}(x)$ 在$[a,b]$上连续，$f^{(n+1)}(x)$在$(a,b)$内存在，节点$a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$ ，则对于任何$x\in [a,b]$，有：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x)$$

这里 $\xi \in (a,b)$，且依赖于 $x$，${\omega }_{n+1}(x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i)$。

我怀疑这个定理是针对Lagrange多项式而言的

一个重要结论

$$\sum _{j=0}^n{x}_j^k{l}_j(x)\equiv x^k,k=0,1,\dots ,n$$

参考链接：数值分析例题分析（一）的例题三

2.2 牛顿插值

Newton多项式

$$N_n(x)=\sum _{i=0}^n{c}_i{\varphi }_i(x)$$

$$\begin{gathered} \mathrm{其}\mathrm{中} \\ {\varphi }_0(x)=1,{\varphi }_i(x)=(x-x_{i-1}){\varphi }_{i-1}(x) \end{gathered}$$

$$c_0=f(x_0),c_i=f[x_0,x_1,\dots ,x_i]（\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{差}\mathrm{商}）$$

差商表：

$x_i$	$f(x_i)$	一阶差商	二阶差商	三阶差商
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f[x_0,x_1]$
$x_2$	$f(x_2)$	$f[x_1,x_2]$	$f[x_0,x_1,x_2]$
$x_3$	$f(x_3)$	$f[x_2,x_3]$	$f[x_1,x_2,x_3]$	$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$
...	...	...	...	...

$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}$

$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_0,x_1]-f[x_1,x_2]}{x_0-x_2}$

$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_0,x_1,x_2]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_0-x_3}$

Newton插值的插值余项

$$R_n(x)=f[x,x_0,\dots ,x_n]{\omega }_{n+1}(x)$$

由唯一性可知$N_n(x)\equiv L_n(x)$，故插值余项也相同，即

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x)$$

2.3 埃尔米特插值

就是知道y的同时还知道y'（或者更高次导数）的插值

两点三次Hermite插值

参考链接：数值分析(4)-多项式插值: 埃尔米塔插值法

已知：

$x$	$x_0$	$x_1$
$f(x)$	$y_0$	$y_1$
$f^{\prime }(x)$	$y_0^{\prime }$	$y_1^{\prime }$

可用$H_3(x)$作为插值函数，满足：

$$H_3(x_i)=y_i,H_3^{\prime }(x_i)=y_i^{\prime }(i=0,1)$$

直接设$H_3(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$算起来太复杂；

引入四个基函数：

$${\alpha }_0(x),{\alpha }_1(x),{\beta }_0(x),{\beta }_1(x)$$

使得

${\alpha }_0(x_0)=1$	${\alpha }_1(x_0)=0$	${\beta }_0(x_0)=0$	${\beta }_1(x_0)=0$
${\alpha }_0(x_1)=0$	${\alpha }_1(x_1)=1$	${\beta }_0(x_1)=0$	${\beta }_1(x_1)=0$
${\alpha }_0^{\prime }(x_0)=0$	${\alpha }_1^{\prime }(x_0)=0$	${\beta }_0^{\prime }(x_0)=1$	${\beta }_1^{\prime }(x_0)=0$
${\alpha }_0^{\prime }(x_1)=0$	${\alpha }_1^{\prime }(x_1)=0$	${\beta }_0^{\prime }(x_1)=0$	${\beta }_1^{\prime }(x_1)=1$

参考视频：Hermite插值

先看第三列：

$x_1$ 处函数、导数值都为0，故一定含有项 $(x-x_1{)}^2$ ； $x_0$处函数值为0，导数值不为0，故含有项 $(x-x_0)$ ；函数总共就3次，此时已经满足3次了。所以

$${\beta }_0(x)=C_{{\beta }_0}(x-x_0)(x-x_1{)}^2$$

C为常数；

同理，看第四列，有

$${\beta }_1(x)=C_{{\beta }_1}(x-x_0{)}^2(x-x_1)$$

再看第一列：

在 $x_1$ 处函数、导数值都为0，故一定含有项 $(x-x_1{)}^2$ ，剩下的项比较难判断，但已知函数是3次的，还差一次，所以直接设剩下的一项为 $(ax-b)$ ，然后利用待定系数法求出$a,b$

第二列也是同理。

最后上结果：

$${\alpha }_0(x)=(1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2$$

$${\alpha }_1(x)=(1-2\frac{x-x_1}{x_1-x_0})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2$$

$${\beta }_0(x)=(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2$$

$${\beta }_1(x)=(x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2$$

2.4 分段低次插值

参考视频：
分段低次多项式插值