【数值分析】第2章-插值

第2章-插值

插值多项式的存在唯一性：对于\((x_i, y_i), i = 0..n\)，次数不大于n的插值多项式是唯一的。

2.1 拉格朗日插值

Lagrange多项式

条件：无重合节点，即$ i \ne j, x_i \ne x_j $

\[L_n(x) = \sum_{i=0}^n l_i(x)y_i \]

\[其中\\ l_i(x) = \prod_{j \ne i, j =0}^{n} \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)} \]

插值余项 \(R_n\)（截断误差）

\[R_n(x) = f(x)-L_n(x) \]

定理：设\(f^{(n)}(x)\) 在\([a,b]\)上连续，\(f^{(n+1)}(x)\)在\((a,b)\)内存在，节点$ a \le x_0 < x_1 < \dots < x_n \le b$ ，则对于任何\(x \in [a,b]\)，有：

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x) \]

这里 $ \xi \in (a,b) $，且依赖于 \(x\)，$\omega_{n+1}(x) = \prod_{i=0}^n (x-x_i) $。

我怀疑这个定理是针对Lagrange多项式而言的

一个重要结论

\[\sum_{j=0}^n x_j^kl_j(x)\equiv x^k, k=0,1,\dots,n \]

参考链接：数值分析例题分析（一）的例题三

2.2 牛顿插值

Newton多项式

\[N_n(x) = \sum_{i=0}^n c_i \phi_i(x) \]

\[其中 \\ \phi_0(x) = 1, \phi_{i}(x) = (x-x_{i-1})\phi_{i-1}(x) \]

\[c_0 = f(x_0), c_i = f[x_0, x_1,\dots, x_i] （称为差商） \]

差商表：

\(x_i\)	\(f(x_i)\)	一阶差商	二阶差商	三阶差商
\(x_0\)	\(f(x_0)\)
\(x_1\)	\(f(x_1)\)	\(f[x_0, x_1]\)
\(x_2\)	\(f(x_2)\)	\(f[x_1, x_2]\)	\(f[x_0, x_1, x_2]\)
\(x_3\)	\(f(x_3)\)	\(f[x_2, x_3]\)	\(f[x_1, x_2, x_3]\)	\(f[x_0, x_1, x_2, x_3]\)
...	...	...	...	...

$f[x_0, x_1] = \frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0 - x_1} $

$f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_0, x_1]-f[x_1, x_2]}{x_0 - x_2} $

$f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_0, x_1, x_2]-f[x_1, x_2, x_3]}{x_0 - x_3} $

Newton插值的插值余项

\[R_n(x) = f[x,x_0,\dots , x_n]\omega_{n+1}(x) \]

由唯一性可知$N_n(x) \equiv L_n(x) $，故插值余项也相同，即

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x) \]

2.3 埃尔米特插值

就是知道y的同时还知道y'（或者更高次导数）的插值

两点三次Hermite插值

参考链接：数值分析(4)-多项式插值: 埃尔米塔插值法

已知：

\(x\)	\(x_0\)	\(x_1\)
\(f(x)\)	\(y_0\)	\(y_1\)
\(f'(x)\)	\(y'_0\)	\(y'_1\)

可用\(H_3(x)\)作为插值函数，满足：

\[H_3(x_i) = y_i, H'_3(x_i) = y'_i(i=0,1) \]

直接设\(H_3(x) = ax^3+bx^2+cx+d\)算起来太复杂；

引入四个基函数：

\[\alpha_0(x), \alpha_1(x), \beta_0(x), \beta_1(x) \]

使得

\(\alpha_0(x_0)=1\)	\(\alpha_1(x_0) = 0\)	\(\beta_0(x_0) = 0\)	\(\beta_1(x_0)= 0\)
\(\alpha_0(x_1)=0\)	\(\alpha_1(x_1) = 1\)	\(\beta_0(x_1) = 0\)	\(\beta_1(x_1)= 0\)
\(\alpha'_0(x_0)=0\)	\(\alpha'_1(x_0) = 0\)	\(\beta'_0(x_0) = 1\)	\(\beta'_1(x_0)= 0\)
\(\alpha'_0(x_1)=0\)	\(\alpha'_1(x_1) = 0\)	\(\beta'_0(x_1) = 0\)	\(\beta'_1(x_1)= 1\)

参考视频：Hermite插值

先看第三列：

\(x_1\) 处函数、导数值都为0，故一定含有项 \((x-x_1)^2\) ； \(x_0\)处函数值为0，导数值不为0，故含有项 \((x-x_0)\) ；函数总共就3次，此时已经满足3次了。所以

\[\beta_0(x) = C_{\beta_0}(x-x_0)(x-x_1)^2 \]

C为常数；

同理，看第四列，有

\[\beta_1(x) = C_{\beta_1}(x-x_0)^2(x-x_1) \]

再看第一列：

在 \(x_1\) 处函数、导数值都为0，故一定含有项 \((x-x_1)^2\) ，剩下的项比较难判断，但已知函数是3次的，还差一次，所以直接设剩下的一项为 \((ax-b)\) ，然后利用待定系数法求出\(a,b\)

第二列也是同理。

最后上结果：

\[\alpha_0(x) = (1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2 \]

\[\alpha_1(x) = (1-2\frac{x-x_1}{x_1-x_0})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2 \]

\[\beta_0(x) = (x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2 \]

\[\beta_1(x) = (x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2 \]

2.4 分段低次插值

参考视频：
分段低次多项式插值