线性代数知识补充

特征值

特征值是指设是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得\(Ax=mx\)成立，则称m是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量

• 求n阶矩阵的特征值的基本方法：
  根据定义可改写为关系式\((A-\lambda E)x=0\)，E为单位矩阵（其形式为主对角线元素为（\(\lambda - a_{ii}\) ，其余元素乘以-1）。要求向量x具有非零解，即求齐次线性方程组\((A-\lambda E)x=0\)有非零解的值\(\lambda\)。即要求行列式\(det(A-\lambda E)=0\)。 解此行列式获得的值\(\lambda\)即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的x，即为输入这个行列式的特征向量。
  求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
  第一步：计算的特征多项式；
  第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
  第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
  的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是
  （其中是不全为零的任意实数）。
  [注]：特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
• \(A\)和\(A^T\)具有相同的特征值\(\lambda\)，但是特征向量不一定相等
• 若\(A\)和\(A^T\)具有相同的特征向量，即\(A\)=\(A^T\)，\(A\)是实对称矩阵，则\(A^T\) \(A\)=\(A^2\)。则\(A^T\) \(A\)的特征值等于\(A\)的特征值\(\lambda\)的平方\(\lambda^2\)。

奇异

首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵，若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。如是方阵，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。