线性代数知识补充
特征值
特征值是指设是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得\(Ax=mx\)成立,则称m是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量
- 求n阶矩阵的特征值的基本方法:
根据定义可改写为关系式\((A-\lambda E)x=0\),E为单位矩阵(其形式为主对角线元素为(\(\lambda - a_{ii}\) ,其余元素乘以-1)。要求向量x具有非零解,即求齐次线性方程组\((A-\lambda E)x=0\)有非零解的值\(\lambda\)。即要求行列式\(det(A-\lambda E)=0\)。 解此行列式获得的值\(\lambda\)即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的x,即为输入这个行列式的特征向量。
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:
第一步:计算的特征多项式;
第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;
第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组:
的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是
(其中是不全为零的任意实数)。
[注]:特征向量不能由特征值惟一确定。反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值。 - \(A\)和\(A^T\)具有相同的特征值\(\lambda\),但是特征向量不一定相等
- 若\(A\)和\(A^T\)具有相同的特征向量,即\(A\)=\(A^T\),\(A\)是实对称矩阵,则\(A^T\) \(A\)=\(A^2\)。则\(A^T\) \(A\)的特征值等于\(A\)的特征值\(\lambda\)的平方\(\lambda^2\)。
奇异
首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵,若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。如是方阵,再看此矩阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。 同时,由|A|≠0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵,则AX=0有无穷解,AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵,则AX=0有且只有唯一零解,AX=b有唯一解。