动态规划之状态压缩DP

二进制表示状态#

每一个数都应该对应集合的一种状态，数字和状态是一一对应的

状态的转移#

我们用二进制的0和1表示一个二元集合的状态。可以简单认为某个物品存在或者不存在的状态。由于二进制的0和1可以转化成一个int整数，也就是说我们用整数代表了一个集合的状态。这样一来，我们可以用整数的加减计算来代表集合状态的变化。

解决问题#

解决问题，在动态规划中，不能脱离状态和决策。

位运算相关的知识。#

• ’&’符号，x&y，会将两个十进制数在二进制下进行与运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。
• ’|’符号，x|y，会将两个十进制数在二进制下进行或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。
• ’^{’符号，x}y，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。
• ’<<’符号，左移操作，x<<2，将x在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用0填充，x<<2相当于让x乘以4。相应的，’>>’是右移操作，x>>1相当于给x/2，去掉x二进制下的最有一位。
  这四种运算在状压dp中有着广泛的应用，常见的应用如下：
• 判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。
  方法：if ( ( ( 1 << ( i - 1 ) ) & x ) > 0)
  将1左移i-1位，相当于制造了一个只有第i位上是1，其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算，如果结果>0，说明x第i位上是1，反之则是0。
• 将一个数字x二进制下第i位更改成1。
  方法：x = x | ( 1<<(i-1) )
  证明方法与1类似，此处不再重复证明。
• 把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。
  方法：x=x&(x-1)
  感兴趣的读者可以自行证明。