斐波那契数列

斐波那契数列

 

兔子问题：“假定一对大兔子每月能生一对小兔子，且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子,具备繁殖能力，如果不发生死亡，且每次均生下一雌一雄，问一年后共有多少对兔子？”

分析:第一个月兔子没有繁殖能力,所以还是一对;两个月后生下一对兔子,共有两对;三个月后,老兔子生下一对,小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对,以此类推,可以列出下表

表中1,1,2,3,5,8,13.....构成一个序列,这个数列有一个特点就是前两项之和等于后一项

数学函数定义:

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递归

public static long fib(int n){
/**
 *fib递归算法
 *时间复杂度O(N^2)
 *空间复杂度O(N)
**/
return n<2?Math.max(n,0):fib(n-2)+fib(n-1);
}

循环

public static long fib(int n){
/**
 *fib循环算法
 *时间复杂度O(N)
 *空间复杂度O(1)
**/
if(n<2)
return Math.max(n,0);

long fib1=1,fib2=0,fibN=0;
for(int i=1;i<n;i++){
fibN=fib1+fib2;
fib2=fib1;
fib1=fibN;
}
return fibN;
}

通项公式

方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：（具体方法就是离散数学里面的生成函数：https://www.cnblogs.com/code-fun/p/12517694.html）
　　

解得　

　　则

　　

　　

　
　　解得

　　

public static long fib(int n){
/**
 *时间复杂度O(logN)
 *空间复杂度O(1)
**/
return (long)(Math.pow(1+Math.sqrt(5)/2,n)-Math.pow(1-Math.sqrt(5)/2,n))/Math.sqrt(5));
}

 参考：https://www.cnblogs.com/zkfopen/p/11245857.html

https://jasonkayzk.github.io/2020/02/25/Fibonacci序列生成算法的优化/

https://baike.baidu.com/item/斐波那契数列/99145?fr=aladdin