第2章-分析复杂度来判断算法效率
算法复杂度用于分析算法运行所需计算机资源的量,需要的时间资源为时间复杂度,需要的空间资源为空间复杂度。
在判断一个算法的优劣时,可以抛开软件和硬件因素,只考虑问题的规模。编写程序前预先估计算法优劣,可以改进并选择更高效的算法。
一、时间复杂度
编程实现算法后,算法就是由一组语句构成,算法的执行效率就由各语句执行的次数所决定。一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比,把时间复杂度记为 \(T(n)\) ,一般情况下,算法的基本操作重复执行的次数是关于模块 \(n\) 的一个函数 \(f(n)\),因此,可以把算法的时间复杂度记做:\(T(n) = O(f(n))\)。
随着模块 \(n\) 的增大,算法执行的时间的增长率和 \(f(n)\) 的增长率成正比,所以 \(f(n)\) 越小,算法的时间复杂度越低,算法的效率越高。
研究复杂度的目的是要比较两个算法的效率的高低,并不需要仔细分析这个算法比那个算法多几次运算那么清,所以采用渐近复杂度分析来比较算法的效率。
在分析算法的时间复杂度时,一般都会规定各种输入情况得出最好情况下 \(T_{max}(n)\)、最坏情况下 \(T_{min}(n)\) 和平均情况下 \(T_{avg}(n)\) 。
1. 求绝对值
求一个整数的绝对值,代码如下:
public static int abs(int a) {
return a < 0 ? -a : a;
}
该代码中只有一条运算指令语句,时间复杂度为 \(O(1)\)。
2. 数组求和
对数组内所有整数求和,代码如下:
public static int sum(int[] a) {
int s = 0;
for (int i : a) {
s += i;
}
return s;
}
如果输入数组的大小为 \(n\) ,执行语句中初始化赋值需要时间 \(O(1)\),循环语句中的赋值操作需要时间为 \(O(1)\times n\),所以语句执行的时间为:
该时间复杂度随着规模大小趋势如下:
3. 二分查找
使用二分法在有序数组中找到某个元素的位置,代码如下:
public static int binarySearch(int[] a, int b) {
int i, r = 0, l = a.length;
while (r <= l) {
i = (r + l) / 2;
if (a[i] < b) {
r = i + 1;
} else if (a[i] > b) {
l = i - 1;
} else {
return i;
}
}
return -1;
}
假设这个循环执行了 \(k\) 次,每一次循环都会将规模 \(n\) 除以 2:
- 第 1 次,规模为 \(n\);
- 第 2 次,规模为 \(\frac{n}{2}\);
- 第 3 次,规模为 \(\frac{n}{4}\);
- 第 \(k\) 次,规模为 \(\frac{n}{2^{k-1}}\) 。
当 \(n=1\) 的时候,查找结束,所以需要满足 \(\frac{n}{2^{k-1}}=1\),简化后得 \(k=log_2n+1\approx log_2n\) ,所以二分查找的时间复杂度为 \(O(log\ n)\)。
4. 冒泡排序
使用冒泡算法对整型数组进行排序,代码实现如下:
public static int[] bubbleSort(int[] a) {
int temp;
for (int i = 0; i < a.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < a.length - 1 - i; j++) {
if (a[j] > a[j + 1]) {
temp = a[j];
a[j] = a[j + 1];
a[j + 1] = temp;
}
}
}
return a;
}
两层循环中比较的次数为 \((n-1)+(n-2)+(n-3)+...+1\) ,根据等差数列求和公式得出结果为 \(\frac{n(n-1)}{2}\),忽略低次项,所以该算法的时间复杂度为 \(O(n^2)\)。
不是时间复杂越低的越好,要考虑数据规模,如果数据规模很小,甚至可以用 \(O(n^2)\) 的算法比 \(O(n)\) 的更合适。
二、空间复杂度
衡量算法性能的另一个重要方面,就是算法需要使用的存储空间量,即算法空间复杂度。我们希望对于同样的输入规模,在时间复杂度相同的前提下,算法所占的空间越少越好。
每次基本操作只会涉及到常数规模的空间,所以在分析和讨论算法时,只关注时间复杂度。当然,空间复杂度在对空间效率非常在乎的应用场景时,或者是问题的输入规模极为庞大时,也有其存在的意义。
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