LGV引理小记

由于是看 oi-wiki 学的，内容基本是搬过来的。

小前提： LGV 引理仅适用于有向无环图。

定义

$\omega(P)$ 表示 $P$ 这条路径上所有边的边权之积。（路径计数时，可以将边权都设为 $1$）（事实上，边权可以为生成函数）

$e(u,v)$ 表示从 $u$ 到 $v$ 的每一条路径 $P$ 的 $\omega(P)$ 之和，即 $e(u,v)=\sum\limits_{P:u\rightarrow v}\omega(P)$。

起点集合 $A$，是有向无环图点集的一个子集，大小为 $n$。

终点集合 $B$，也是有向无环图点集的一个子集，大小也为 $n$。

一组 $A\rightarrow B$ 的不相交路径 $S$：$S_i$ 是一条从 $A_i$ 到 $B_{\sigma(S)_i}$ 的路径（$\sigma(S)$ 是一个排列），对于任何 $i\ne j$，$S_i$ 和 $S_j$ 没有公共顶点。

$t(\sigma)$ 表示排列 $\sigma$ 的逆序对个数。

引理

$$M= \begin{bmatrix} e(A_1,B_1) & e(A_1,B_2) & \cdots & e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1) & e(A_2,B_2) & \cdots & e(A_2,B_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ e(A_n,B_1) & e(A_n,B_2) & \cdots & e(A_n,B_n) \end{bmatrix} \\ \text{det}(M)=\sum\limits_{S:A\rightarrow B}(-1)^{t(\sigma(S))}\prod\limits_{i=1}^n\omega(S_i)$$

其中 $\sum\limits_{S:A\rightarrow B}$ 表示满足上文要求的 $A\rightarrow B$ 的每一组不相交路径 $S$。

证明

由行列式定义可得

$$\begin{aligned} \det(M) &=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})\\ &=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \sum_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P) \end{aligned}$$

观察到 $\prod\limits_{i=1}^n \sum\limits_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P)$，实际上是所有从 $A$ 到 $B$ 排列为 $\sigma$ 的路径组 $P$ 的 $\omega(P)$ 之和。

$$\begin{aligned} &\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \sum_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P)\\ =&\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\sum_{P=\sigma}\omega(P)\\ =&\sum_{P:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \omega(P_i) \end{aligned}$$

此处 $P$ 为任意路径组。

设 $U$ 为不相交路径组，$V$ 为相交路径组，

$$\begin{aligned} &\sum_{P:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \omega(P_i)\\ =&\sum_{U:A\to B}(-1)^{t(U)}\prod_{i=1}^n \omega(U_i)+\sum_{V:A\to B}(-1)^{t(V)}\prod_{i=1}^n \omega(V_i) \end{aligned}$$

设 $P$ 中存在一个相交路径组 $P_i:a_1 \to u \to b_1$,$P_j:a_2 \to u \to b_2$，则必然存在和它相对的一个相交路径组 $P_i'=a_1\to u\to b_2$,$P_j'=a_2\to u\to b_1$，$P'$ 的其他路径与 $P$ 相同。可得 $\omega(P)=\omega(P'),t(P)=t(P')\pm 1$。

因此我们有 $\sum\limits_{V:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod\limits_{i=1}^n \omega(V_i)=0$。

则 $\det(M)=\sum\limits_{U:A\to B}(-1)^{t(U)}\prod\limits_{i=1}^n \omega(U_i)=0$。

证毕。

例题

CF348D Turtles

比较直接的 LGV 引理的应用。考虑所有合法路径，发现从 $(1,1)$ 出发一定要经过 $A=\{(1,2), (2,1)\}$，而到达终点一定要经过 $B=\{(n-1, m), (n, m-1)\}$，则 $A, B$ 可立即选定。应用 LGV 引理可得答案为：

$$\begin{vmatrix} f(a_1, b_1) & f(a_1, b_2) \\ f(a_2, b_1) & f(a_2, b_2) \end{vmatrix} = f(a_1, b_1)\times f(a_2, b_2) - f(a_1, b_2)\times f(a_2, b_1)$$

其中 $f(a, b)$ 为图上 $a\rightarrow b$ 的路径数，带有障碍格点的路径计数问题可以直接做一个 $\Theta(nm)$ 的 dp，则 $f$ 易求。最终复杂度 $\Theta(nm)$。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const int MAXN=3e3+5;
 
int n,m;
int dp[MAXN][MAXN];
char ma[MAXN][MAXN];
 
inline int solve(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[x1][y1]=(ma[x1][y1]=='.');
    for(int i=1;i<=x2;i++)
        for(int j=1;j<=y2;j++)
        {
            if(ma[i][j]=='#') continue;
            dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%MOD;
            dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j-1])%MOD;
        }
    return dp[x2][y2]%MOD;
}
 
signed main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>ma[i][j];
    int res1=solve(1,2,n-1,m);
    int res2=solve(1,2,n,m-1);
    int res3=solve(2,1,n-1,m);
    int res4=solve(2,1,n,m-1);
    int ans=((res1*res4)%MOD-(res2*res3)%MOD+MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}