点分治学习笔记

参考蓝书发篇学习笔记。。。

一.算法梗概：

点分治是一种用于在一棵树上，无对路劲进行修改的操作，对某些具有限定条件的路径进行静态统计的算法。
点分治一般用来处理无根树，我们可以随意认定根节点。

二.实现过程：

我们拿一道例题来说一下：

P4178 Tree

我们认定根节点为 $root$ ，那么对于 $root$ 而言，树上的路径有两种：
1.经过 $root$ 的路径；
2.不经过 $root$ 但包含在 $root$ 的某棵子树内。

对于路径种类1，我们可以从 $root$ 点出发，对整棵树进行 $\text{dfs}$ ，求出点 $i$ 到 $root$ 的距离 $dis_i$ ，同时可以求出 $b_i$ ，表示 $i$ 属于 $root$ 的哪一棵子树。特别地， $b_{root}=root$ 。

代码如下：

点击查看代码

 inline void getdis(int x,int fa,int d,int from)
{
    a[++now]=x,b[x]=from,dis[x]=d;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to,z=e[i].len;
        if(y==fa || vis[y]) continue;
        getdis(y,x,d+z,from);
    }
    return;
}

而我们要统计的，就是满足如下所有条件的点对 $(x,y)$ 的数量：（1） $b_x\ne b_y$ ；（2） $dis_x+dis_y\leqslant k$

对于路径种类2，我们可以分治一下，将 $root$ 的每棵子树递归处理。

那么我们最常见的 $calc$ 函数的写法，就是指针扫描数组的方法：
将树上每个节点放到一个数组 $a$ 里去，然后按照节点的 $dis$ 值排序。显然， $l$ 在向右扫描的过程中，恰好使得 $d_{a_l}+d_{a_r}\leqslant k$ 的 $r$ 是从右向左单调递减。那么我们用 $cnt_s$ 来统计 $l+1\sim r$ 之间满足 $b_{a_i}$ 的 $i$ 的个数，那么，当某条路径的某一端为 $a_l$ 时，另一端的合法的个数就为 $r-l-cnt_{b_{a_l}}$ 。

代码如下：

点击查看代码

 inline int calc(int x)
{
    tot=0,a[++tot]=x,b[x]=x,dis[x]=0,now[b[x]]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to,z=e[i].len;
        if(vis[y]) continue;
        getdis(y,x,z,y);
    }
    sort(a+1,a+tot+1,cmp);
    int l=1,r=tot,res=0;
    while(l<=r)//一定要注意，一定不要写成l<r，因为这样会导致l=r时直接退出，但是有一个没有减掉
    {
        while(l<r && dis[a[l]]+dis[a[r]]<=k)
        {
            res+=r-l+1-now[b[a[l]]];
            now[b[a[l]]]--;l++;
        }
        now[b[a[r]]]--;r--;
    }
    return res;
}

若递归的深度为 $dep$ ，那么算法的时间复杂度就为 $\mathcal{O}(dep· n\log n)$

但是我们想一种情况，若树的形态为一条链，那么最坏情况下，每次根都选到链的端点，那么递归深度就需要 $n$ 层，算法时间复杂度就退化成 $\mathcal{O}(n^2\log n)$ 。所以，我们要对根的选择进行一个优化，每次都找到树的重心作为根节点。

代码如下：

点击查看代码

 inline void getrt(int x,int fa,int tot)
{
    siz[x]=1,hson[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa || vis[y]) continue;
        getrt(y,x,tot);
        siz[x]+=siz[y];
        hson[x]=max(hson[x],siz[y]);
    }
    hson[x]=max(hson[x],tot-siz[x]);
    if(!root || hson[x]<hson[root]) root=x;
    return;
}

解释：因为此时 $root$ 的每棵子树的大小都不会超过整棵树的一半，那么就限制了递归层数最多为 $\mathcal{O}(\log n)$ ，那么现在算法的时间复杂度就变成了 $\mathcal{O}(n\log^2n)$ 。

完整代码：

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=4e4+5;
 
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
 
int n,k;
 
struct edge
{
    int to,nxt,len;
}e[MAXN<<1];
 
int head[MAXN],cnt;
 
inline void add(int x,int y,int z)
{
    e[++cnt].to=y;
    e[cnt].len=z;
    e[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
    return;
}
 
int root,tot;
int siz[MAXN],hson[MAXN];
int dis[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
bool vis[MAXN];
int now[MAXN];
 
inline void getrt(int x,int fa,int tot)
{
    siz[x]=1,hson[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa || vis[y]) continue;
        getrt(y,x,tot);
        siz[x]+=siz[y];
        hson[x]=max(hson[x],siz[y]);
    }
    hson[x]=max(hson[x],tot-siz[x]);
    if(!root || hson[x]<hson[root]) root=x;
    return;
}
 
inline void getdis(int x,int fa,int d,int from)
{
    a[++tot]=x,b[x]=from,dis[x]=d,now[b[x]]++;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to,z=e[i].len;
        if(y==fa || vis[y]) continue;
        getdis(y,x,d+z,from);
    }
    return;
}
 
inline bool cmp(int a,int b) {return dis[a]<dis[b];}
 
int ans;
 
inline int calc(int x)
{
    tot=0,a[++tot]=x,b[x]=x,dis[x]=0,now[b[x]]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to,z=e[i].len;
        if(vis[y]) continue;
        getdis(y,x,z,y);
    }
    sort(a+1,a+tot+1,cmp);
    int l=1,r=tot,res=0;
    while(l<=r)
    {
        while(l<r && dis[a[l]]+dis[a[r]]<=k)
        {
            res+=r-l+1-now[b[a[l]]];
            now[b[a[l]]]--;l++;
        }
        now[b[a[r]]]--;r--;
    }
    return res;
}
 
inline void solve(int x)
{
    vis[x]=true;ans+=calc(x);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(vis[y]) continue;
        root=0;
        getrt(y,0,siz[y]);
        solve(root);
    }
    return;
}
 
signed main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z),add(y,x,z);
    }
    k=read();
    hson[0]=n,getrt(1,0,n);solve(root);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

典型例题

例一 P3806 【模板】点分治1

纯纯的板子，只是从统计数量变成了是否存在的问题。

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e4+5;
 
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
 
struct edge
{
    int to,nxt,len;
}e[MAXN<<1];
 
int head[MAXN],cnt;
 
inline void add(int x,int y,int z)
{
    e[++cnt].to=y;
    e[cnt].len=z;
    e[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
    return;
}
 
int n,m,root;
int siz[MAXN],hson[MAXN];
bool vis[MAXN],flag[MAXN];
int a[MAXN],b[MAXN],dis[MAXN],tot;
 
inline void getrt(int x,int fa,int tot)
{
    siz[x]=1,hson[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa || vis[y]) continue;
        getrt(y,x,tot);
        siz[x]+=siz[y];
        hson[x]=max(siz[y],hson[x]);
    }
    hson[x]=max(hson[x],tot-siz[x]);
    if(!root || hson[x]<hson[root]) root=x;
    return;
}
 
inline void getdis(int x,int fa,int d,int from)
{
    a[++tot]=x,b[x]=from,dis[x]=d;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to,z=e[i].len;
        if(y==fa || vis[y]) continue;
        getdis(y,x,d+z,from);
    }
    return;
}
 
inline bool cmp(int a,int b)
{
    return dis[a]<dis[b];
}
 
int ask[MAXN];
 
inline void calc(int x)
{
    tot=0,a[++tot]=x,b[x]=x,dis[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to,z=e[i].len;
        if(vis[y]) continue;
        getdis(y,x,z,y);
    }
    sort(a+1,a+tot+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int l=1,r=tot;
        if(flag[i]) continue;
        while(l<r)
        {
            if(dis[a[l]]+dis[a[r]]>ask[i]) r--;
            else if(dis[a[l]]+dis[a[r]]<ask[i]) l++;
            else if(b[a[l]]==b[a[r]])
            {
                if(dis[a[r]]==dis[a[r-1]]) r--;
                else l++;
            }
            else {flag[i]=true;break;}
        }
    }
}
 
inline void solve(int x)
{
    vis[x]=true;calc(x);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(vis[y]) continue;
        root=0;
        getrt(y,0,siz[y]);
        solve(root);
    }
    return;
}
 
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z),add(y,x,z);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ask[i]=read();
        if(!ask[i]) flag[i]=true;
    }
    hson[0]=n;getrt(1,0,n);solve(root);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(flag[i]) printf("AYE\n");
        else printf("NAY\n");
    }
    return 0;
}

上一篇51Nod 试题泛做1

下一篇线段树的一些延伸

本文作者：Code_AC

本文链接：https://www.cnblogs.com/code-ac/p/17517018.html

posted @ 2023-06-30 15:56 Code_AC 阅读(7) 评论(0) 编辑收藏举报

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额。。。

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	inline void getdis(int x,int fa,int d,int from)
	{
	a[++now]=x,b[x]=from,dis[x]=d;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to,z=e[i].len;
	if(y==fa \|\| vis[y]) continue;
	getdis(y,x,d+z,from);
	}
	return;
	}

	inline int calc(int x)
	{
	tot=0,a[++tot]=x,b[x]=x,dis[x]=0,now[b[x]]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to,z=e[i].len;
	if(vis[y]) continue;
	getdis(y,x,z,y);
	}
	sort(a+1,a+tot+1,cmp);
	int l=1,r=tot,res=0;
	while(l<=r)//一定要注意，一定不要写成l<r，因为这样会导致l=r时直接退出，但是有一个没有减掉
	{
	while(l<r && dis[a[l]]+dis[a[r]]<=k)
	{
	res+=r-l+1-now[b[a[l]]];
	now[b[a[l]]]--;l++;
	}
	now[b[a[r]]]--;r--;
	}
	return res;
	}

	inline void getrt(int x,int fa,int tot)
	{
	siz[x]=1,hson[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to;
	if(y==fa \|\| vis[y]) continue;
	getrt(y,x,tot);
	siz[x]+=siz[y];
	hson[x]=max(hson[x],siz[y]);
	}
	hson[x]=max(hson[x],tot-siz[x]);
	if(!root \|\| hson[x]<hson[root]) root=x;
	return;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	const int MAXN=4e4+5;

	inline int read()
	{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
	if(ch=='-') f=-1;
	ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
	ch=getchar();
	}
	return x*f;
	}

	int n,k;

	struct edge
	{
	int to,nxt,len;
	}e[MAXN<<1];

	int head[MAXN],cnt;

	inline void add(int x,int y,int z)
	{
	e[++cnt].to=y;
	e[cnt].len=z;
	e[cnt].nxt=head[x];
	head[x]=cnt;
	return;
	}

	int root,tot;
	int siz[MAXN],hson[MAXN];
	int dis[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
	bool vis[MAXN];
	int now[MAXN];

	inline void getrt(int x,int fa,int tot)
	{
	siz[x]=1,hson[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to;
	if(y==fa \|\| vis[y]) continue;
	getrt(y,x,tot);
	siz[x]+=siz[y];
	hson[x]=max(hson[x],siz[y]);
	}
	hson[x]=max(hson[x],tot-siz[x]);
	if(!root \|\| hson[x]<hson[root]) root=x;
	return;
	}

	inline void getdis(int x,int fa,int d,int from)
	{
	a[++tot]=x,b[x]=from,dis[x]=d,now[b[x]]++;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to,z=e[i].len;
	if(y==fa \|\| vis[y]) continue;
	getdis(y,x,d+z,from);
	}
	return;
	}

	inline bool cmp(int a,int b) {return dis[a]<dis[b];}

	int ans;

	inline int calc(int x)
	{
	tot=0,a[++tot]=x,b[x]=x,dis[x]=0,now[b[x]]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to,z=e[i].len;
	if(vis[y]) continue;
	getdis(y,x,z,y);
	}
	sort(a+1,a+tot+1,cmp);
	int l=1,r=tot,res=0;
	while(l<=r)
	{
	while(l<r && dis[a[l]]+dis[a[r]]<=k)
	{
	res+=r-l+1-now[b[a[l]]];
	now[b[a[l]]]--;l++;
	}
	now[b[a[r]]]--;r--;
	}
	return res;
	}

	inline void solve(int x)
	{
	vis[x]=true;ans+=calc(x);
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to;
	if(vis[y]) continue;
	root=0;
	getrt(y,0,siz[y]);
	solve(root);
	}
	return;
	}

	signed main()
	{
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
	int x=read(),y=read(),z=read();
	add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	k=read();
	hson[0]=n,getrt(1,0,n);solve(root);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int MAXN=1e4+5;

	inline int read()
	{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
	if(ch=='-') f=-1;
	ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
	ch=getchar();
	}
	return x*f;
	}

	struct edge
	{
	int to,nxt,len;
	}e[MAXN<<1];

	int head[MAXN],cnt;

	inline void add(int x,int y,int z)
	{
	e[++cnt].to=y;
	e[cnt].len=z;
	e[cnt].nxt=head[x];
	head[x]=cnt;
	return;
	}

	int n,m,root;
	int siz[MAXN],hson[MAXN];
	bool vis[MAXN],flag[MAXN];
	int a[MAXN],b[MAXN],dis[MAXN],tot;

	inline void getrt(int x,int fa,int tot)
	{
	siz[x]=1,hson[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to;
	if(y==fa \|\| vis[y]) continue;
	getrt(y,x,tot);
	siz[x]+=siz[y];
	hson[x]=max(siz[y],hson[x]);
	}
	hson[x]=max(hson[x],tot-siz[x]);
	if(!root \|\| hson[x]<hson[root]) root=x;
	return;
	}

	inline void getdis(int x,int fa,int d,int from)
	{
	a[++tot]=x,b[x]=from,dis[x]=d;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to,z=e[i].len;
	if(y==fa \|\| vis[y]) continue;
	getdis(y,x,d+z,from);
	}
	return;
	}

	inline bool cmp(int a,int b)
	{
	return dis[a]<dis[b];
	}

	int ask[MAXN];

	inline void calc(int x)
	{
	tot=0,a[++tot]=x,b[x]=x,dis[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to,z=e[i].len;
	if(vis[y]) continue;
	getdis(y,x,z,y);
	}
	sort(a+1,a+tot+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	int l=1,r=tot;
	if(flag[i]) continue;
	while(l<r)
	{
	if(dis[a[l]]+dis[a[r]]>ask[i]) r--;
	else if(dis[a[l]]+dis[a[r]]<ask[i]) l++;
	else if(b[a[l]]==b[a[r]])
	{
	if(dis[a[r]]==dis[a[r-1]]) r--;
	else l++;
	}
	else {flag[i]=true;break;}
	}
	}
	}

	inline void solve(int x)
	{
	vis[x]=true;calc(x);
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
	int y=e[i].to;
	if(vis[y]) continue;
	root=0;
	getrt(y,0,siz[y]);
	solve(root);
	}
	return;
	}

	int main()
	{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
	int x=read(),y=read(),z=read();
	add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	ask[i]=read();
	if(!ask[i]) flag[i]=true;
	}
	hson[0]=n;getrt(1,0,n);solve(root);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	if(flag[i]) printf("AYE\n");
	else printf("NAY\n");
	}
	return 0;
	}