数论函数

恶补数学。。。

狄利克雷卷积

定义

定义运算 \((\text{f} * \text{g})(n)=\sum\limits_{d|n}\text{f}(d)\text{g}(\frac{n}{d})\)，记为狄利克雷卷积。

注：在数论中，\(*\) 读作“卷”。

性质

• \(\text{f} * \text{g}=\text{g} * \text{f}\)（交换律）

• \(\text{f} * (\text{g} * \text{h})=(\text{f} * \text{g}) * \text{h}\)（结合律）

• \((\text{f + g}) * \text{h}=\text{f} * \text{h}+\text{g} * \text{h}\)（分配律）

• \(x\text{f}*\text{g}=x(\text{f} * \text{g})\)（优先级大）

• 有单位元 \(\epsilon(n)=[n=1]\)，即 \(\text{f}*\epsilon=\epsilon * \text{f}=\text{f}\)

• 对于每一个 \(\text{f}(1)\ne 0\) 的函数 \(\text{f}\)，存在逆元 \(\text{g}\) 使得 \(\text{f} * \text{g}=\epsilon\)

• 若 \(\text{g}\) 是 \(\text{f}\) 的逆元，只需要让 \(\text{g}(n)\) 满足以下式子即可：

\[\text{g}(n)=\dfrac{1}{\text{f}(1)}\Bigg(\epsilon(n)-\sum\limits_{i|n,i\neq1}\text{f}(i)\text{g}\Big(\dfrac{n}{i}\Big)\Bigg) \]

另外一些有用的计算

点乘

定义 \(\text{(f · g)}(x)=\text{f}(x)\text{g}(x)\)

那么当 \(\text{f}\) 是完全积性函数时，有 \((\text{f · g})*(\text{f · h})=\text{f}·(\text{g}*\text{h})\)

一些常见的数论函数

• \(1(x)=1\)，常函数，不管自变量取值多少恒为一，具有完全积性。

• \(\text{id}(x)=x,\text{id}^k(x)=x^k\)，标号函数，返回自变量本身，具有完全积性。

• \(\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^x[\gcd(i,x)=1]\)，欧拉函数，表示小于某正整数且与该数互质的正整数的个数

• \(\epsilon(x)=[x=1]\)，约定中括号返回一个布尔量，中括号内表达式为真返回1，否则返回0。整数域下有积性。

• \(\text{d}(x)=\sum\limits_{d|x}1\)，表示 \(x\) 的约数个数。

• \(\sigma(x)=\sum\limits_{d|x}d\)，表示 \(x\) 的约数和。

\(\mu\) 函数

定义

定义 \(1\) 的逆为 \(\mu\)。

性质

\[\mu(p^k)=\begin{cases}1&(k=0)\\-1&(k=1)\\0&(k>1)\end{cases} \]

一些常见数论函数间的关系

• \(\text{d}=1*1\)

• \(\sigma=1*\text{id}\)

• \(\text{id}=1*\varphi\)

• \(\sigma=1*1*\varphi=\text{d}*\varphi\)

• \(\varphi=\text{id}*\mu\)

• \(1=\text{d}*\mu\)

• \(\text{id}=\sigma * \mu\)

莫比乌斯反演

定理内容

若 \(\text{g}=\text{f}*1\)，则 \(\text{f}=\text{g}*\mu\)。

例

求：

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\gcd(i,j) \]

可以对式子进行如下变化：

令 \(N=\min(n,m)\)，则原式

\[=\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N\gcd(i,j)\\ =\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N[\gcd(i,j)=d]\\ =\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{i=1}^{\big\lfloor\frac{N}{d}\big\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\big\lfloor\frac{N}{d}\big\rfloor}[\gcd(i,j)=1] \]

后面可以用莫比乌斯反演转化为 \(O(\sqrt{n})\)，总复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)，进一步优化：

\[=\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{i=1}^{\big\lfloor\frac{N}{d}\big\rfloor}\mu(i)\Big\lfloor\dfrac{n}{id}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{id}\Big\rfloor\\ =\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{id=1}^N\mu(i)\Big\lfloor\dfrac{n}{id}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{id}\Big\rfloor\ \]

令 \(T=id\)，对于每一个 \(T\)，只有 \(i=\frac{T}{d},T \text{ mod }d=0\)，则

\[=\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits{T=1}^N[T \text{ mod }d=0]\mu\Big(\frac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor \]

因为 \(T\) 只和 \(d\) 有关，所以

\[=\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{d|T}^N\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor \]

将 \(d\) 乘进去

\[=\sum\limits_{d=1}^N\sum\limits_{d|T}^Nd\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor \]

我们可以改变枚举变量，原式枚举的是 \(d\) 的倍数，已知在 \(1-N\) 中枚举一个数的倍数和 \(1-N\) 中枚举一个数的因子是等价的，所以我们可以把枚举 \(d\) 的倍数改为枚举 \(T\) 的因子，那么就有

\[=\sum\limits_{T=1}^N\sum\limits_{d|T}d\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor \]

显然，式中有一个经典的卷积形式

\[\sum\limits_{d|T}d\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)=\text{id}*\mu \]

令 \(h=\text{id}*\mu\)，则

\[h*1=\text{id}*\mu*1\\ h*1=\text{id}*\epsilon\\ h*1=\text{id} \]

又因为 \(\varphi*1=\text{id}\)，所以 \(h=\varphi\)，则原式为

\[=\sum\limits_{T=1}^N\varphi(T)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor \]

欧拉函数前缀和可以用杜教筛求得，总时间复杂度 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。

例题：

P1829 Crash 的数字表格

求：

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\text{lcm}(i,j) \]

\(n,m\leqslant 10^7\)

P3327 [SDOI2015] 约数个数和

求：

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\text{d}(ij) \]

\(1\leqslant T,n,m \leqslant 5\times 10^4\)

提示：

\[\text{d}(i,j)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|i}[i\ \bot\ j] \]