数论函数

恶补数学。。。

狄利克雷卷积

定义

定义运算 $(\text{f} * \text{g})(n)=\sum\limits_{d|n}\text{f}(d)\text{g}(\frac{n}{d})$，记为狄利克雷卷积。

注：在数论中，$*$ 读作“卷”。

性质

• $\text{f} * \text{g}=\text{g} * \text{f}$（交换律）

• $\text{f} * (\text{g} * \text{h})=(\text{f} * \text{g}) * \text{h}$（结合律）

• $(\text{f + g}) * \text{h}=\text{f} * \text{h}+\text{g} * \text{h}$（分配律）

• $x\text{f}*\text{g}=x(\text{f} * \text{g})$（优先级大）

• 有单位元 $\epsilon(n)=[n=1]$，即 $\text{f}*\epsilon=\epsilon * \text{f}=\text{f}$

• 对于每一个 $\text{f}(1)\ne 0$ 的函数 $\text{f}$，存在逆元 $\text{g}$ 使得 $\text{f} * \text{g}=\epsilon$

• 若 $\text{g}$ 是 $\text{f}$ 的逆元，只需要让 $\text{g}(n)$ 满足以下式子即可：

$$\text{g}(n)=\dfrac{1}{\text{f}(1)}\Bigg(\epsilon(n)-\sum\limits_{i|n,i\neq1}\text{f}(i)\text{g}\Big(\dfrac{n}{i}\Big)\Bigg)$$

另外一些有用的计算

点乘

定义 $\text{(f · g)}(x)=\text{f}(x)\text{g}(x)$

那么当 $\text{f}$ 是完全积性函数时，有 $(\text{f · g})*(\text{f · h})=\text{f}·(\text{g}*\text{h})$

一些常见的数论函数

• $1(x)=1$，常函数，不管自变量取值多少恒为一，具有完全积性。

• $\text{id}(x)=x,\text{id}^k(x)=x^k$，标号函数，返回自变量本身，具有完全积性。

• $\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^x[\gcd(i,x)=1]$，欧拉函数，表示小于某正整数且与该数互质的正整数的个数

• $\epsilon(x)=[x=1]$，约定中括号返回一个布尔量，中括号内表达式为真返回1，否则返回0。整数域下有积性。

• $\text{d}(x)=\sum\limits_{d|x}1$，表示 $x$ 的约数个数。

• $\sigma(x)=\sum\limits_{d|x}d$，表示 $x$ 的约数和。

$\mu$ 函数

定义

定义 $1$ 的逆为 $\mu$。

性质

$$\mu(p^k)=\begin{cases}1&(k=0)\\-1&(k=1)\\0&(k>1)\end{cases}$$

一些常见数论函数间的关系

• $\text{d}=1*1$

• $\sigma=1*\text{id}$

• $\text{id}=1*\varphi$

• $\sigma=1*1*\varphi=\text{d}*\varphi$

• $\varphi=\text{id}*\mu$

• $1=\text{d}*\mu$

• $\text{id}=\sigma * \mu$

莫比乌斯反演

定理内容

若 $\text{g}=\text{f}*1$，则 $\text{f}=\text{g}*\mu$。

例

求：

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\gcd(i,j)$$

可以对式子进行如下变化：

令 $N=\min(n,m)$，则原式

$$=\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N\gcd(i,j)\\ =\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N[\gcd(i,j)=d]\\ =\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{i=1}^{\big\lfloor\frac{N}{d}\big\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\big\lfloor\frac{N}{d}\big\rfloor}[\gcd(i,j)=1]$$

后面可以用莫比乌斯反演转化为 $O(\sqrt{n})$，总复杂度 $O(n\sqrt{n})$，进一步优化：

$$=\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{i=1}^{\big\lfloor\frac{N}{d}\big\rfloor}\mu(i)\Big\lfloor\dfrac{n}{id}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{id}\Big\rfloor\\ =\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{id=1}^N\mu(i)\Big\lfloor\dfrac{n}{id}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{id}\Big\rfloor\ $$

令 $T=id$，对于每一个 $T$，只有 $i=\frac{T}{d},T \text{ mod }d=0$，则

$$=\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits{T=1}^N[T \text{ mod }d=0]\mu\Big(\frac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor$$

因为 $T$ 只和 $d$ 有关，所以

$$=\sum\limits_{d=1}^Nd\sum\limits_{d|T}^N\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor$$

将 $d$ 乘进去

$$=\sum\limits_{d=1}^N\sum\limits_{d|T}^Nd\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor$$

我们可以改变枚举变量，原式枚举的是 $d$ 的倍数，已知在 $1-N$ 中枚举一个数的倍数和 $1-N$ 中枚举一个数的因子是等价的，所以我们可以把枚举 $d$ 的倍数改为枚举 $T$ 的因子，那么就有

$$=\sum\limits_{T=1}^N\sum\limits_{d|T}d\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor$$

显然，式中有一个经典的卷积形式

$$\sum\limits_{d|T}d\mu\Big(\dfrac{T}{d}\Big)=\text{id}*\mu$$

令 $h=\text{id}*\mu$，则

$$h*1=\text{id}*\mu*1\\ h*1=\text{id}*\epsilon\\ h*1=\text{id}$$

又因为 $\varphi*1=\text{id}$，所以 $h=\varphi$，则原式为

$$=\sum\limits_{T=1}^N\varphi(T)\Big\lfloor\dfrac{n}{T}\Big\rfloor\Big\lfloor\dfrac{m}{T}\Big\rfloor$$

欧拉函数前缀和可以用杜教筛求得，总时间复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$。

例题：

P1829 Crash 的数字表格

求：

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\text{lcm}(i,j)$$

$n,m\leqslant 10^7$

P3327 [SDOI2015] 约数个数和

求：

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\text{d}(ij)$$

$1\leqslant T,n,m \leqslant 5\times 10^4$

提示：

$$\text{d}(i,j)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|i}[i\ \bot\ j]$$