整除与同余

整除和同余理论

同余方程

定义：形如 $ax \equiv c\ (\text{mod}\ b) \Longleftrightarrow ax+by=c$ 的方程。

裴蜀定理

内容：若 $a,b$ 为正整数，则 $ax+by=c$ 有整数解当且仅当 $\gcd(a,b)$ 为 $c$ 的因数。

exgcd（扩展欧几里得算法）

扩展欧几里得算法（exgcd）——可求解 $\gcd$，解同余方程、乘法逆元。

$$ax+by=c \\ \Rightarrow ax+by=\gcd(a,b)\\ \Rightarrow bx_0+a\text{ mod }b y_0=\gcd(a,b)$$

内容：对于形如 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的方程，当 $b=0$ 时，$x=1,y=0$ 是方程的一组特解。

$$bx_0 + (a-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor b)y_0=\gcd(a,b)\\ \Rightarrow ay_0 + (x_0 - \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y_0)b=\gcd(a,b)\\ \Rightarrow x=y_0 , y=x_0-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y_0$$

模板

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int d=a;
    if(b==0) x=1,y=0;
    else d=exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
    return d;
}

乘法逆元

定义：若 $ax \equiv 1(\text{mod }p)$，就称 $a$ 与 $x$ 在模 $p$ 意义下互为乘法逆元。

例：

若要求 $(\dfrac{m}{n})\text{ mod }p$，则转化为 $(m\times inv_n)\text{ mod }p$，其中 $inv_n$ 表示模 $p$ 意义下 $n$ 的逆元。

标准分解式

定义：将质因数分解的结果，按照质因数大小，由小到大排列，并将相同质因数的连乘积，以指数形式表示。

例：

$2020$ 的标准分解式为 $2^2 \times 55\times 101$。

欧拉函数

定义：$\varphi(n)$ 指在小于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数。

求法：

1.先化为标准分解式：

$$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_L^{k_L}$$

2.再根据公式计算：

$$\varphi(n) = \prod\limits^r_{i=1}p_i^{k_i-1}(p_i-1)\\ =\prod\limits_{p|n}p^{\alpha_p-1}(p-1)\\ =n\prod\limits_{p|n}(1-\dfrac{1}{p})$$

但当 $m$ 为合数时，且不知道 $m$ 的因数分解式时，通常很难求出 $n$ 的欧拉函数值 $\varphi(m)$。

欧拉函数线性筛法，时间复杂度 $O(n)$

模板

const int MAXN=4e4+5;
 
int phi[MAXN],prime[MAXN],m,ans;
bool vis[MAXN];
 
inline void getphi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++m]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i*prime[j]>MAXN) break;
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(!(i%prime[j]))
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

欧拉定理

内容：对于两个正整数 $a,n$，若 $a,n$ 互质，则

$$a^{\varphi(n)}\equiv1\ (\text{mod}\ n)$$

一般常用到它的推论：对于两个正整数 $a,n$，若 $a,n$ 互质，则

$$a^b\equiv a^{b\text{ mod } \varphi(n)}\ (\text{mod }n)$$

利用这个推论，在满足 $a,m$ 互质的前提下，即使 $b$ 较大，我们也可以轻松地计算 $a^b\text{ mod }m$ 的值。

扩展欧拉定理

通常用来解决欧拉定理的推论中 $a,m$ 不互质时的情况。

内容：

$$a^b\equiv\begin{cases}a^b\ (\text{mod }n)&(b<\varphi(n))\\ a^{b\text{ mod }\varphi(n)+\varphi(n)}\ (\text{mod }n)&(b\geqslant \varphi(n))\end{cases}$$

费马小定理

定义：设 $p$ 是一个素数，则对于任意整数 $a$，有

$$a^p \equiv a\ (\text{mod}\ p) \Longleftrightarrow a^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod}\ p)$$

同样可以用来求逆元。

威尔逊定理

定义：对于一个素数 $p$，有

$$(p-1)!\equiv -1\ (\text{mod}\ p)$$

BSGS（大步小步算法）

通常用来求解离散对数问题，即求解形如 $a^x \equiv b\ (\text{mod }p)$ 的方程的解。

内容：

取 $k=\lceil\sqrt{p}\rceil$，令 $x=ky+z$，则

$$a^x=a^{ky+z}\equiv b\ (\text{mod }p)\Longleftrightarrow a^{ky}\equiv \dfrac{b}{a^z}\ (\text{mod }p)$$

预处理出所有 $\dfrac{b}{a^z}$ 并哈希存储，枚举 $y$ 后判断是否有满足条件的即可。

模板

inline int BSGS(int a,int b,int MOD)
{
    map<int,int>ma;
    int cur=1,t=sqrt(MOD)+1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        cur=cur*a%MOD;
        ma[b*cur%MOD]=i;
    }
    int now=cur;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        if(ma[now]) return i*t-ma[now];
        now=now*cur%MOD; 
    }
    return -1;
}

CRT（中国剩余定理）

通常用来求解形如

$$\begin{cases}x\equiv a_1\ (\text{mod }p_1)\\x\equiv a_2\ (\text{mod }p_2)\\...\\x\equiv a_n\ (\text{mod }p_n)\end{cases}$$

的同余方程的解，其中 $p_1,p_2,...,p_n$ 均为质数。

内容：

设 $M=\prod p_i,m_i=\dfrac{M}{p_i},t_i\equiv \dfrac{1}{m_i}\ (\text{mod }p)_i$

那么我们可以发现 $a_it_im_i\equiv 0\ (\text{mod }m_i),a_it_im_i\equiv a_i\ (\text{mod }p_i)$

于是答案便为 $\sum a_it_im_i\ (\text{mod }M)$

有时需要用到龟乘。

模板

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int d=a;
    if(b==0) x=1,y=0;
    else d=exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
    return d;
}
 
int a[MAXN],b[MAXN],n;
 
inline int CRT(int mod)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int M=mod/a[i];
        int x,y;
        int d=exgcd(M,a[i],x,y);
        ans=((ans+x*M*b[i])%mod+mod)%mod;
    }
    return ans;
}

exCRT（扩展中国剩余定理）

内容：

对于上面的方程，假设合并两个方程：

$$\begin{cases}x\equiv a_1\ (\text{mod }p_1)\\x\equiv a_2\ (\text{mod }p_2)\end{cases}$$

那么合并出来的模数一定是 $\text{lcm}(p_1,p_2)$。

于是有：$x=k_1p_1+a_1=k_2p_2+a_2$.

用 $\text{exgcd}$ 求出 $k_1,k_2$ 即可。

其中无解的情况就是 $\text{exgcd}$ 无解的情况。

模板

int n,a[MAXN],b[MAXN];
 
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int d=a;
    if(b==0) x=1,y=0;
    else d=exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
    return d;
}
 
inline int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
 
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
 
inline int Mod(int x,int p)
{
    return (x%p+p)%p;
}
 
int x0,y0;
 
inline int exCRT(int A,int B)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int g=Mod(b[i]-B,a[i]),d=exgcd(A,a[i],x0,y0);
        if(g%d) printf("No Solution\n");
        x0*=g/d,x0%=a[i]/d;
        B+=A*x0,A=lcm(A,a[i]),B=Mod(B,A);
    }
    return B;
}