图论加深

一些较基础的知识点：

例一 P1196 银河英雄传说

带权并查集，比较简单。

设 $dis_i$ 表示点 $i$ 到并查集根节点的距离。

那么我们只要在 find 和 merge 的时候各统计一下，再弄一个 $siz_i$ ，就可以做了。

Code

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=3e4+5;
 
int t;
int fa[MAXN],dis[MAXN],siz[MAXN];
 
inline int find(int x)
{
    if(x==fa[x])
        return fa[x];
    int f=find(fa[x]);
    dis[x]+=dis[fa[x]];
    return fa[x]=f;
}
 
inline void merge(int x,int y)
{
    int a=find(x),b=find(y);
    if(a==b)
        return;
    fa[a]=b;
    dis[a]+=siz[b];
    siz[b]+=siz[a];
    return;
}
 
int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>t;
    for(register int i=1;i<=30000;i++)
        fa[i]=i,siz[i]=1;
    while(t--)
    {
        char op;
        cin>>op;
        if(op=='M')
        {
            int a,b;
            cin>>a>>b;
            merge(a,b);
        }
        else
        {
            int a,b;
            cin>>a>>b;
            int x=find(a),y=find(b);
            if(x!=y)
                printf("-1\n");
            else
                printf("%d\n",abs(dis[a]-dis[b])-1);
        }
    }
    return 0;
}

例二 CF687D Dividing Kingdom II

同样是一道并查集的题目，只不过带了一点贪心。

题意：
1.对于所有边，编号在 $[l,r]$ 内的，将他们的点划分到两个集合 $S1,S2$ ；
2.对于每两个集合 $S1,S2$ 取最大权值；
3.对于所有划分取最小值。

分析：
1.我们贪心的想，先将边的权值从大到小排序，那么每次拆的就会尽可能大；
2.然后我们将 $fa$ 数组开两倍，将 $a,b+n$ 合并，将 $a+n,b$ 合并，就可以保证他们不在同一集合；
3.若操作无法执行，那么就证明 $a,b$ 已在同一集合内。

Code

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e3+5;
const int MAXM=5e5+5;
 
struct edge
{
    int st,en,len,id;
}e[MAXM];
 
int n,m,q;
int fa[MAXN<<1];
 
inline int find(int x)
{
    if(x==fa[x])
        return fa[x];
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
 
inline void merge(int x,int y)
{
    int a=find(x),b=find(y);
    if(a!=b)
        fa[a]=b;
    return;
}
 
inline bool cmp(edge x,edge y)
{
    return x.len>y.len;
}
 
int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>q;
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>e[i].st>>e[i].en>>e[i].len;
        e[i].id=i;
    }
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    while(q--)
    {
        int l,r,ans=-1;
        cin>>l>>r;
        for(register int i=1;i<=n*2;i++)
            fa[i]=i;
        for(register int i=1;i<=m;i++)
            if(e[i].id>=l && e[i].id<=r)
            {
                int a=find(e[i].st),b=find(e[i].en);
                if(a==b)
                {
                    ans=e[i].len;
                    break;
                }
                else
                {
                    merge(e[i].st+n,e[i].en);
                    merge(e[i].st,e[i].en+n);
                }
            }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

例三 P3623 免费道路

首先我们给出如下定义：
必选的鹅卵石路指将所有水泥路全部选完后图仍未连通，需要选的鹅卵石路，其他鹅卵石路为可选的鹅卵石路。

分析：
1.我们可以先将所有水泥路尝试连成生成树，边数为 $tot(tot\leqslant n-1)$ ；
2.然后跑一遍 $\text{Kruscal}$ ，检查连通性并统计出必选的鹅卵石路的条数 $cnt=n-1-tot$ ；
3.之后先连必选的鹅卵石路，然后连可选的连到 $k$ 条，剩下的用水泥路连，最后跑一遍 $\text{Kruscal}$ 即可。

那么我们就有以下几种 No Solution 的情况：
1.整个图根本就不连通；
2.必选的鹅卵石的数量大于 $k$ ，也就是说无法将所有必选的全选上；
3.所有鹅卵石路不足 $k$ 。

所以说这道题思路不难，但要打满分很难。

Code

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
 
struct edge
{
    int x,y,z;
}e[MAXN],ans[MAXN];
 
inline bool cmp1(edge a,edge b)
{
    return a.z>b.z;
}
 
inline bool cmp2(edge a,edge b)
{
    return a.z<b.z;
}
 
int n,m,k;
int fa[MAXN];
int cnt,tot;
 
inline void init()
{
    cnt=tot=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    return;
}
 
inline int find(int x)
{
    if(x==fa[x])
        return fa[x];
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
 
inline void merge(int x,int y)
{
    int a=find(x),b=find(y);
    if(a!=b)
        fa[a]=b;
    return;
}
 
inline bool check()
{
    int f=find(1);
    for(register int i=2;i<=n;i++)
        if(find(i)!=f)
            return true;
    return false;
}
 
int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>k;
    for(register int i=1;i<=m;i++)
        cin>>e[i].x>>e[i].y>>e[i].z;
    init();
    sort(e+1,e+m+1,cmp1);
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=find(e[i].x),b=find(e[i].y),c=e[i].z;
        if(a!=b && !c)
            tot++,e[i].z=-1;
        merge(e[i].x,e[i].y);
    }
    if(tot>k || check())
    {
        printf("no solution\n");
        return 0;
    }
    init();
    sort(e+1,e+m+1,cmp2);
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=find(e[i].x),b=find(e[i].y),c=e[i].z;
        if(a!=b)
            if(c==1 || tot<k)
            {
                ans[++cnt]=e[i];
                fa[a]=b;
                if(c<1)
                    tot++,e[i].z=0;
            }
    }
    if(tot<k || check())
    {
        printf("no solution\n");
        return 0;
    }
    for(register int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        if(ans[i].z==-1)
            ans[i].z=0;
        printf("%d %d %d\n",ans[i].x,ans[i].y,ans[i].z);
    }
    return 0;
}

欧拉路径与欧拉回路

1.无向图的欧拉路径
在一张无向图 $G$ 中，存在一条路径可以不重复地经过每一条边。

2.欧拉回路
欧拉回路是一条特殊的欧拉路径，起点和终点重合。

3.无向图存在欧拉路径的充分必要条件
度数为奇数的点的个数要么是 $0$ 个，要么是 $2$ 个。

4.实现方法

判定是否有解
选取一个度数为奇数的点作为起点
$\text{dfs}$ 搜索每一条边并标记
存储经过的顶点必须在递归之后

5.有向图的欧拉路径与欧拉回路
与上面相同。

6.判定方法

入度-出度为 $1$ 的点数恰好为 $1$ 个
出度-入度为 $1$ 的点数恰好为 $1$ 个

或者

所有点入度=出度。

汉密尔顿环问题

在一张无向图 $G$ 中，存在一条路径可以不重复地经过每一个点。

这个问题目前没有非暴力的解法，属于 $\text{NP}$ 难题。

例一 P7771 欧拉路径

欧拉路径板子题。

这道题卡时间卡得有点紧，需要加些优化。

点击查看代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
 
// char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
// #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(isdigit(ch))
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
 
vector<int>e[MAXN];
int n,m;
int ru[MAXN],chu[MAXN];
int stk[MAXN],top;
int head[MAXN];
 
inline void dfs(int x)
{
    for(int i=head[x];i<e[x].size();i=head[x])
    {
        head[x]=i+1;
        dfs(e[x][i]);
    }
    stk[++top]=x;
}
 
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        e[x].push_back(y);
        chu[x]++,ru[y]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sort(e[i].begin(),e[i].end());
    int id=1,cnt1=0,cnt2=0;
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(chu[i]!=ru[i]) flag=false;
        if(chu[i]-ru[i]==1) cnt1++,id=i;
        if(ru[i]-chu[i]==1) cnt2++;
    }
    if((!flag) && !(cnt1==cnt2 && cnt2==1))
    {
        printf("No\n");
        return 0;
    }
    dfs(id);
    while(top) printf("%d ",stk[top--]);
    return 0;
}

例二 P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

欧拉回路板子题。

点击查看代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=505;
 
// char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
// #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(isdigit(ch))
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
 
int m;
 
int e[MAXN][MAXN];
int stk[MAXN],top;
int du[MAXN<<1];
 
inline void dfs(int x)
{ 
    for(int i=1;i<=500;i++)
        if(e[x][i])
            e[x][i]--,e[i][x]--,dfs(i);
    stk[++top]=x;
    return;
}
 
int main()
{
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        e[x][y]++,e[y][x]++;
        du[x]++,du[y]++;
    }
    vector<int>V;
    for(int i=1;i<=500;i++)
        if(du[i]&1) V.push_back(i);
    if(!V.size()) dfs(1);
    else dfs(min(V[0],V[1]));
    while(top) printf("%d\n",stk[top--]);
    return 0;
}

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本文作者：Code_AC

本文链接：https://www.cnblogs.com/code-ac/p/16683910.html

posted @ 2022-09-11 14:02 Code_AC 阅读(31) 评论(2) 编辑收藏举报

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额。。。

真是够了。

图论加深

一些较基础的知识点：

例一 P1196 银河英雄传说

例二 CF687D Dividing Kingdom II

例三 P3623 免费道路

欧拉路径与欧拉回路

汉密尔顿环问题

例一 P7771 欧拉路径

例二 P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

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	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int MAXN=3e4+5;

	int t;
	int fa[MAXN],dis[MAXN],siz[MAXN];

	inline int find(int x)
	{
	if(x==fa[x])
	return fa[x];
	int f=find(fa[x]);
	dis[x]+=dis[fa[x]];
	return fa[x]=f;
	}

	inline void merge(int x,int y)
	{
	int a=find(x),b=find(y);
	if(a==b)
	return;
	fa[a]=b;
	dis[a]+=siz[b];
	siz[b]+=siz[a];
	return;
	}

	int main()
	{
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>t;
	for(register int i=1;i<=30000;i++)
	fa[i]=i,siz[i]=1;
	while(t--)
	{
	char op;
	cin>>op;
	if(op=='M')
	{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	merge(a,b);
	}
	else
	{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	int x=find(a),y=find(b);
	if(x!=y)
	printf("-1\n");
	else
	printf("%d\n",abs(dis[a]-dis[b])-1);
	}
	}
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int MAXN=1e3+5;
	const int MAXM=5e5+5;

	struct edge
	{
	int st,en,len,id;
	}e[MAXM];

	int n,m,q;
	int fa[MAXN<<1];

	inline int find(int x)
	{
	if(x==fa[x])
	return fa[x];
	return fa[x]=find(fa[x]);
	}

	inline void merge(int x,int y)
	{
	int a=find(x),b=find(y);
	if(a!=b)
	fa[a]=b;
	return;
	}

	inline bool cmp(edge x,edge y)
	{
	return x.len>y.len;
	}

	int main()
	{
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>q;
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
	cin>>e[i].st>>e[i].en>>e[i].len;
	e[i].id=i;
	}
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	while(q--)
	{
	int l,r,ans=-1;
	cin>>l>>r;
	for(register int i=1;i<=n*2;i++)
	fa[i]=i;
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	if(e[i].id>=l && e[i].id<=r)
	{
	int a=find(e[i].st),b=find(e[i].en);
	if(a==b)
	{
	ans=e[i].len;
	break;
	}
	else
	{
	merge(e[i].st+n,e[i].en);
	merge(e[i].st,e[i].en+n);
	}
	}
	printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int MAXN=2e5+5;

	struct edge
	{
	int x,y,z;
	}e[MAXN],ans[MAXN];

	inline bool cmp1(edge a,edge b)
	{
	return a.z>b.z;
	}

	inline bool cmp2(edge a,edge b)
	{
	return a.z<b.z;
	}

	int n,m,k;
	int fa[MAXN];
	int cnt,tot;

	inline void init()
	{
	cnt=tot=0;
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	fa[i]=i;
	return;
	}

	inline int find(int x)
	{
	if(x==fa[x])
	return fa[x];
	return fa[x]=find(fa[x]);
	}

	inline void merge(int x,int y)
	{
	int a=find(x),b=find(y);
	if(a!=b)
	fa[a]=b;
	return;
	}

	inline bool check()
	{
	int f=find(1);
	for(register int i=2;i<=n;i++)
	if(find(i)!=f)
	return true;
	return false;
	}

	int main()
	{
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>k;
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	cin>>e[i].x>>e[i].y>>e[i].z;
	init();
	sort(e+1,e+m+1,cmp1);
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
	int a=find(e[i].x),b=find(e[i].y),c=e[i].z;
	if(a!=b && !c)
	tot++,e[i].z=-1;
	merge(e[i].x,e[i].y);
	}
	if(tot>k \|\| check())
	{
	printf("no solution\n");
	return 0;
	}
	init();
	sort(e+1,e+m+1,cmp2);
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
	int a=find(e[i].x),b=find(e[i].y),c=e[i].z;
	if(a!=b)
	if(c==1 \|\| tot<k)
	{
	ans[++cnt]=e[i];
	fa[a]=b;
	if(c<1)
	tot++,e[i].z=0;
	}
	}
	if(tot<k \|\| check())
	{
	printf("no solution\n");
	return 0;
	}
	for(register int i=1;i<=cnt;i++)
	{
	if(ans[i].z==-1)
	ans[i].z=0;
	printf("%d %d %d\n",ans[i].x,ans[i].y,ans[i].z);
	}
	return 0;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int MAXN=1e5+5;

	// char buf[1<<21],p1=buf,p2=buf;
	// #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
	inline int read()
	{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(isdigit(ch))
	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
	}

	vector<int>e[MAXN];
	int n,m;
	int ru[MAXN],chu[MAXN];
	int stk[MAXN],top;
	int head[MAXN];

	inline void dfs(int x)
	{
	for(int i=head[x];i<e[x].size();i=head[x])
	{
	head[x]=i+1;
	dfs(e[x][i]);
	}
	stk[++top]=x;
	}

	int main()
	{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	int x=read(),y=read();
	e[x].push_back(y);
	chu[x]++,ru[y]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sort(e[i].begin(),e[i].end());
	int id=1,cnt1=0,cnt2=0;
	bool flag=true;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	if(chu[i]!=ru[i]) flag=false;
	if(chu[i]-ru[i]==1) cnt1++,id=i;
	if(ru[i]-chu[i]==1) cnt2++;
	}
	if((!flag) && !(cnt1==cnt2 && cnt2==1))
	{
	printf("No\n");
	return 0;
	}
	dfs(id);
	while(top) printf("%d ",stk[top--]);
	return 0;
	}

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int MAXN=505;

	// char buf[1<<21],p1=buf,p2=buf;
	// #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
	inline int read()
	{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(isdigit(ch))
	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
	}

	int m;

	int e[MAXN][MAXN];
	int stk[MAXN],top;
	int du[MAXN<<1];

	inline void dfs(int x)
	{
	for(int i=1;i<=500;i++)
	if(e[x][i])
	e[x][i]--,e[i][x]--,dfs(i);
	stk[++top]=x;
	return;
	}

	int main()
	{
	m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	int x=read(),y=read();
	e[x][y]++,e[y][x]++;
	du[x]++,du[y]++;
	}
	vector<int>V;
	for(int i=1;i<=500;i++)
	if(du[i]&1) V.push_back(i);
	if(!V.size()) dfs(1);
	else dfs(min(V[0],V[1]));
	while(top) printf("%d\n",stk[top--]);
	return 0;
	}