CSP初赛复习
一.存储知识：
1.存储：
编码：
比特（bit）：编码最小的单位。
字节（byte）：存储的最小单位。
2.存储单位的转化：
1 KB = 1024 Byte
1 MB = 1024 KB
1 GB = 1024 MB
1 TB = 1024 GB
3.常见的变量类型的存储大小：
1个 int = 4个 Bytes
1个 (unsigned) long long = 8个 Bytes（unsigned long long 不存负数，存非负数是long long 的两倍）
1个 bool = 1个 Byte
1个 char = 1个 Byte
1个 float = 4个 Bytes
1个 double = 8个 Bytes
二.计算机系统的组成：
硬件系统（hardware）+软件系统（software）。
1.硬件系统：
（1）：硬件系统包括主机（CPU、内存...）以及外接设备（输入输出设备等）。
（2）：内存分为 RAM（可读写存储器，掉电之后数据清除） 、ROM（只可读存储器，掉电之后数据保留） 和 Cache（高速缓冲存储器，为了适应CPU的高速计算） 三种。
（3）：register（寄存器）是CPU里的一个小区域，用来存变量。一般变量存在内存，而 register 可以将变量存到CPU里去，以达到加快运行速度的目的，但一般用于存大量重复的变量，例如循环变量：for(register int i=1;i<=n;i++)之类的。
2.软件系统：
软件系统包括操作系统（Linux、Windows、Mac等）以及应用软件（APP）。
三.进制转化：
（1）十进制转 \(m\) 进制——短除法：
如图示：
（2） \(m\) 进制转十进制——逐位乘后求和：
如：
\((10110)_2 = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2 ^0 = (14)_{10}\)
四.位运算和位移操作：
1.位运算（支持各种运算率）：
优先级：括号 \(>\) 四则运算 \(>\) 逻辑运算 \(>\) 位运算
（1）：按位取反，符号~，将一个整数在二进制下逐位取反。
（2）：按位与，符号&，将两个整数在二进制下对齐个位逐位比较，数码同为 \(1\) 则为 \(1\)，否则为 \(0\)。
（3）：按位或，符号|，将两个整数在二进制下对齐个位逐位比较，数码同位有 \(1\) 则为 \(1\)，否则为 \(0\)。
（4）：按位异或，符号^/xor，将两个整数在二进制下对齐个位逐位比较，数码不同则为 \(1\)，否则为 \(0\)。
2.位移操作：
（1）：左移： 符号<<，左移一位相当于 $ \times 2 $ 。
（2）：右移： 符号>>，右移一位相当于 $ \times \dfrac{1}{2}$。
五.编码：
（1）：编码包括原码、反码、补码。
（2）原码：正负用符号位区分，正数第一位为 \(0\)，后接数值，负数则为 \(1\)。
eg： \(5\) 原码为 \(0\ 101\)。\(-5\) 原码为 \(1\ 101\)。
（3）反码：正数的反码就是原码，负数的反码是符号位不变，数值部分取反。
eg： \(-5\) 反码为 \(1\ 010\)。
（4）补码：正数的补码还是本身，负数的补码是反码 \(+1\)。
例题：在8位二进制补码中，\(10101011\) 表示十进制下的_____?
\(ans:\) -85。
六.数据结构：
（1）：初赛常考：线性数据结构、树形数据结构、图类数据结构。
（2）线性数据结构： 数组（包括静态数组和动态数组）、队列（先进先出）、栈（后进先出）、链表（一环扣一环、无法直接访问任意元素）。
栈常考进出栈顺序及前后缀表达式。
前缀表达式：指将四则运算的符号放在最前面，两个数值放在最后面的表达式。
后缀表达式：指将四则运算的符号放在最后面，两个数值放在最前面的表达式。
例题：
\(a - b \times c + d \times (f - e)\) 的前缀表达式： \(+\ -\ a \times b\ c \times d -f\ e\)
\(a - b \times c + d \times (f - e)\) 的后缀表达式：\(a\ b\ c \times -\ d\ f\ e\ - \times \ +\)
（3）树的概念：
树是一种特殊的图，所有结点连通，且 \(n\) 个点 \(n-1\) 条边，树中一定没有环。
在树的结点中，包含父节点、子节点（相对关系）。
根节点是没有父节点的节点，根据是否约定根节点，分为有根树（约定了根节点或边有向的树）或无根树（没有约定根节点且边无向的树）。
叶节点是没有子节点的节点。
（4）特殊的树形结构：
二叉树：对于每个节点，最多只有两个子节点的树。
完全二叉树：除了最后一层，是一颗完美二叉树，且最后一层的节点尽量靠左分布的二叉树。
二叉搜索树：对于任意一个节点 \(x\)，其左子树中的权值均不超过 \(x\) 的权值，其右子树中的节点权值均超过 \(x\) 的权值的二叉树。
（5）二叉树中的一些性质：
树的深度（高度）：描述一棵树的节点层数，需要约定根节点是 \(0\) 还是 \(1\)。
二叉树中的数量性质：
1.若深度从 \(1\) 计算，则二叉树第 \(i\) 层上最多有节点 \(2^{i-1}\) 个。
2.：若深度从 \(1\) 计算，则深度为 \(h\) 的二叉树最多有 \(2^h-1\) 个节点
3.：若深度从 \(1\) 计算，那么 \(n\) 个节点的二叉树深度至多为 \(n\)，至少为 \(\lceil \log_{n+1}\rceil\)。
4.：所有的二叉树都可以直接用数组来存储，若节点编号为 \(i\)，则下标也为 \(i\)，且左孩子为 \(i \times 2\)，右孩子为 \(i \times 2 + 1\)。
（6）树的遍历：
1.前序遍历（根左右）：对于每个节点 \(x\)，满足先输出 \(x\)，再输出 \(x\) 的左孩子，最后输出 \(x\) 的右孩子。
2.中序遍历（左根右）：对于每个节点 \(x\)，满足先输出 \(x\) 的左孩子，再输出 \(x\)，最后输出 \(x\) 的右孩子。
3.后序遍历（左右根）：对于每个节点 \(x\)，满足先输出 \(x\) 的左孩子，再输出 \(x\) 的右孩子，最后输出 \(x\)。
4.层序遍历：从上到下，从左到右。
5.由二叉树的形态可以唯一得到遍历顺序，反之不行，但 先序+中序 或 后序+中序 可以唯一确定二叉树的形态。
代码实现：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node
{
int lc,rc;
}a[MAXN];
inline void dfs1(int x)//前序遍历
{
if(x==0)
return;
printf("%d\n",x);
dfs1(a[x].lc);
dfs1(a[x].rc);
return;
}
inline void dfs2(int x)//中序遍历
{
if(x==0)
return;
dfs2(a[x].lc);
printf("%d\n",x);
dfs2(a[x].rc);
return;
}
inline void dfs3(int x)//后序遍历
{
if(x==0)
return;
dfs3(a[x].lc);
dfs3(a[x].rc);
printf("%d\n",x);
return;
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int n;
cin>>n;
for(register int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i].lc>>a[i].rc;
dfs1(1);//均以1为根
dfs2(1);
dfs3(1);
return 0;
}
例题 P1030 求先序排列
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void dfs(string z,string h)
{
if(z.size()==0)
return;
char rt=h[h.size()-1];
int p=z.find(rt);
cout<<rt;
dfs(z.substr(0,p),h.substr(0,p));
dfs(z.substr(p+1),h.substr(p,h.size()-p-1));
return;
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
string z,h;
cin>>z>>h;
dfs(z,h);
return 0;
}
例题 P1827 美国血统 American Heritage
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a,b;
inline void dfs(int x,int y,int p,int q)
{
if(x>y || p>q)
return;
else
{
int i=b.find(a[x]);
dfs(x+1,x+i-p,p,i-1);
dfs(x+i-p+1,y,i+1,q);
cout<<a[x];
}
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>b>>a;
int len=a.length()-1;
dfs(0,len,0,len);
return 0;
}
（7）图的概念：
由点和线构成的网络。
（8）图的分类：
有四种方式：
1.可分为有向图（边有向或有箭头）和无向图（边无向或无箭头）。
2.可分为有权图（边有权重）和无权图（边没有权重）。
3.可分为有环图（存在至少一个环）和无环图（不存在环）。
4.可分为稀疏图（点多边少）和稠密图（边多点少、边很密集）。
（9）图顶点的度数：
1.有向图：分为入度（一个点被多少箭头指向）和出度（一个点指出的箭头数量）。
2.无向图：一个点连接的边的数量（无向图不分入度出度），
（10）图的连通性：
若图中有点 \(x\) 能够找到一条路径到达 \(y\)，则称 \(x\) 与 \(y\) 连通。
完全图：图中的每一个点都与其余所有点有直接连边。
对于有 \(n\) 个点的无向完全图，其边数为 \(\dfrac{n \times (n-1)}{2}\)
对于有 \(n\) 个点的有向完全图，其边数为 \(n \times (n-1)\)
（11）图的存储：
1°邻接矩阵，设二维数组 \(g_{i,j}\) 表示点 \(i\) 指向点 \(j\) 的一条边。
2°邻接链表，设动态数组vector<int>nbr[105];
比如 \(2\) 到 \(5\) 有一条边，那么nbr[2].push_back(5)。
也可用链式前向星：
struct edge
{
int to,nxt,len;
}e[MAXN<<1];
int head[MAXN],cnt;
inline void add(int x,int y,int z)//从点x到点y连一条权值为z的边
{
e[++cnt].to=y;
e[cnt].len=z;
e[cnt].nxt=head[x];
head[x]=cnt;
return;
}
七.排序算法：
（1）冒泡排序：时间复杂度 \(O(n^2)\)，稳定。
（2）选择排序：时间复杂度 \(O(n^2)\)，不稳定。
（3）插入排序：时间复杂度 \(O(n^2)\)（可以做到 \(O(n)\)），稳定。
八.数学相关的问题：
（1）加法原理：做一件事情，有 \(n\) 种做法，第 \(i\) 种做法有 \(a_i\) 种方式，则完成这件事情有 \(\sum\limits_{i=1}^n a_i\) 种不同的方法。
（2）乘法原理：做一件事情，有 \(n\) 个步骤，第 \(i\) 个步骤有 \(a_i\) 种方式，则完成这件事情有 \(\prod\limits_{i=1}^n a_i\) 种不同的方法。
（3）排列数公式：在 \(n\) 个数种选 \(m\) 个数构成 \(1\) 组有序的排列，方案数为：
（4）组合数公式：在 \(n\) 个数种选 \(m\) 个数构成 \(1\) 组无序的组合，方案数为：
例1： \(8\) 个人排成一队。
1.要求甲乙两人必须相邻。
解：
2.甲乙不相邻。
解：
3.甲乙相邻但是与丙不相邻。
解：
4.甲乙相邻且丙丁相邻。
解：
例2：有人射击，开了 \(8\) 枪，命中 \(4\) 枪，恰好有 \(3\) 枪连续命中的方案有多少？
解：在五个空中选取 \(2\) 个排列，即 \(A_5^2\)。
（5）卡特兰数（Catalan）：
\(C_n\) 表示在 \(n+2\) 条边的凸多边形中，可以画 \(n-1\) 条不相交的对角线，将该多边形分成 \(n\) 个三角形。
\(C_n\) 也可表示所有在 \(n \times n\) 格点中不越过对角线的单调路径的个数。
递推式：
通项公式一：
通项公式二：
通项公式二其实就是把通项公式一拆开。
那么我们这里来证一下第二个：
根据定义，合法的路径不能越过对角线。那么我们考虑利用总方案数 \(C_{2n}^n\) 减去不合法的方案数。
这里的黄色线和绿色线连接而成的路径代表一条不合法的路径，我们把路径第一次超越对角线的点（点 \(L\)）到终点（点 \(A\)）的路径沿粉色线条（对角线向上平移 \(1\) 个单位得到）对称。得到了蓝色的路径。显然，这里的黄色路径和蓝色路径是对应的。
而之所以选择“向上平移 \(1\) 个单位”的意义就是在任何情况下接触这条线就会变成不合法路径。
容易证明，所有不合法的路径和所有从原点到A'点的路径都是一一对应的。所以不合法的路径条数就是从原点到A'的路径条数 \(C_{2n}^{n-1}\)
证明如下：
因为这个关系是可逆的（通过操作后的路径能得出操作前的路径），所以显然所有不合法的路径和所有从原点到 \(A'\) 点的路径都是一一对应的。
这样就得出了前面提到的卡特兰数第二个通项公式：
那么现在我们来应用一下：
例1：有一个算式，包含 \(n\) 运算符及 \(n+1\) 个运算数值，要求在算式中加上 \(1\) 对括号，求不同的运算顺序有多少种？
解：这种题目基本用卡特兰数解决，结果就是一个二叉树。
例2：有 \(n\) 个节点的二叉树，不同的形态有多少种？
解：很明显我们分别考虑左右子树，那显然就是卡特兰数的递推式。
放球问题：有 \(n\) 个球放入 \(m\) 个盒子中：
1.球同，盒子相同，不允许空盒子；（只能穷举法）
2.球同，盒子相同，允许空盒子；（只能穷举法）
3.球同，盒子不同，不允许空盒子；（隔板法）\(C_{n-1}^{m-1}\)
4.球同，盒子不同，允许空盒子；（隔板法）\(C_{n+m-1}^{m-1}\)
5.球不同，盒子相同，不允许空盒子；（第二类斯特林数）
6.球不同，盒子相同，允许空盒子。（第二类斯特林数）
第二类斯特林数：\(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示 \(n\) 个不同元素分为 \(m\) 个集合的方案数。
递推式：
说白了就是第 \(n\) 行第 \(m\) 个数等于它上一行第 \(m-1\) 个数加上一行第 \(m\) 个数乘 \(m\)。
通项公式：
第一类斯特林数：\(\begin{bmatrix} n\\m\end{bmatrix}\) 表示 \(n\) 个不同元素分为 \(m\) 个圆排列的方案数
有标号的第一类斯特林数：\(s(n,m)=(-1)^{n-m}\begin{bmatrix} n\\m\end{bmatrix}\)
递推式：
即新建一个圆排列，或者插入前面 \(n-1\) 个元素中任意一个的后面。
那么显然，有标号的就是：
生成函数有些复杂，这里就不说了。
